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#26 06-09-2018 21:04:06

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Dattier a écrit :

si tu reconnais que (1) "la bonne volonté est indispensable en maths", inutile de me répondre, sans cela j'attends une réponse de la part de ceux qui ne croient pas en (1).


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#27 06-09-2018 21:04:52

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

On se donne au départ
- un segment $[OI]$ qui définit l'unité
- deux demi-droites de même origine le point $A$.

Etape 1 :
Tracer le cercle de centre $A$ de rayon $OI$.
On note $B$ et $C$ les points d'intersection de ce cercle avec les demi-droites.

Etape 2 :
Tracer le cercle de centre $B$ de rayon $OI$.

Etape 3 :
Tracer le cercle de centre $C$ de rayon $OI$.
Ces deux derniers cercles se coupent en $A$ et un autre point que l'on notera $D$.

Etape 4 :
Tracer la droite $AD$.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 21:05:41)


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#28 06-09-2018 21:06:33

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

tibo a écrit :

On se donne au départ
- un segment $[OI]$ qui définit l'unité

Etape 1 :

Etape 2 :


Etape 3 :


Etape 4 :

Donc tu as besoin de 5 coups ?

Fallait dire carrément :
"on se donne au départ une droite avec sa bissectrice"
Et alors tu l'as en 0 coups.

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 21:08:06)


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#29 06-09-2018 21:09:08

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Pour ce qui est de "la bonne volonté", c'est ce dont je ne fais pas preuve quand je te réponds.


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#30 06-09-2018 21:18:37

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

En effet tu exagères un peu.
Si tu me demandes de tracer la bissectrice d'un angle, je suppose que que cet angle est déjà tracé.

Si je dois tracer moi-même cet angle, j'ai besoin de 2 étapes de plus pour tracer les demi-droites.
Donc va pour 6 étapes.


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#31 06-09-2018 21:21:20

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Non, je ne suis pas d'accord, avec les axiomes de Euclides, c'est tous simplement impossible.

En effet tu as au départ 2 demi-droites séquantes en A (par exemple), la question comment tu places un point (le I), pour cela il faut nommer formellement, une des 2 demi-droites et cela c'est impossible !

Il te faut plus de 4 coups.

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 21:24:29)


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#32 06-09-2018 21:29:55

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

il faut nommer une des 2 demi-droites et cela c'est impossible !

Je ne comprend pas ce que tu veux dire.

Pour résumer, les règles sont les suivantes : partant de deux points $O$ et $I$, on peut
- tracer une droite passant par 2 points déjà construits.
- tracer un cercle de centre et de rayon déjà construits.
- ajouter à l'ensemble des points construits les points d'intersection de deux cercles, deux droites ou un cercle et une droite.

Laquelle de mes étapes ne respectent pas les règles ci-dessus ?


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#33 06-09-2018 21:33:28

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Le segment OI doit être tracé, comment fais-tu cela ?

sans cela tu prends un coup d'avance.

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 21:33:49)


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#34 06-09-2018 21:35:19

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Le segment $[OI]$ est donné de base.
Cela fait partie de la définition "usuelle" de la construction à la règle et au compas.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 21:38:44)


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#35 06-09-2018 21:37:21

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Ok, à quel axiome d'Euclide cela correspond ?


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#36 06-09-2018 21:38:54

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Pour continuer cette discussion, il faut se mettre d'accord sur la définition des objets que l'on utilise.
Moi je considère cette définition :

Soit P un ensemble de points du plan. On considère les 2 catégories d'objets suivant :
1 - les droites (AB), où A et B sont des éléments de P.
2 - les cercles centrés en un point de P, et de rayon AB, où A et B sont des éléments de P.
(ces 2 catégories d'objets sont donc tous les cercles et toutes les droites que l'on peut construire à partir des points de P).

Un point M du plan est dit constructible à la règle et au compas en une étape à partir de P s'il existe deux éléments distincts de 1. et 2. donc M est point d'intersection

Un point M est dit constructible à la règle et au compas à partir de P s'il existe des points M1,…,Mn tels que Mi soit constructible en une étape à partir de P et des points précédemment construits.

Lorsque l'ensemble des points que l'on se donne au départ est constitué de O et de I, on dit simplement que M est constructible (à la règle et au compas).

Enfin, on dit qu'un réel r est constructible si le point A(r,0) est constructible.

Si tu n'es pas d'accord avec cette définition, dis moi exactement laquelle tu veux que l'on utilise.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 21:41:03)


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#37 06-09-2018 21:40:32

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Non, je veux qu'on utilise la définition "usuelle" (que tu fais remonter à Euclide), celle d'aprés laquelle je n'ai pas droit de me servir du compas comme je l'avais fait.


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#38 06-09-2018 21:44:23

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Vaudrait savoir, y-a-t-il oui ou non une utilisation "usuelle" de la régle et du compas, si oui, quelle est-elle ?


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#39 06-09-2018 21:51:38

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

La définition usuelle de la construction à la règle et au compas est exactement celle que j'ai donné à mon post précèdent.
Je l'ai copié/collé de Bibmath (on trouve d'autres formulations équivalentes sur internet).

Elle découle directement des axiomes d'Euclide.
Si tu veux que je te le démontre, on s'éloigne un peu du sujet initial.
Je ne suis pas un spécialiste des Eléments d'Euclide, il va me falloir un peu de temps pour retrouver les définitions exactes.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 21:52:06)


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#40 06-09-2018 21:55:21

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Citation de ton lien :

Dans toute la suite, on suppose donné un plan muni d'un repère orthonormé. On note I le point (1,0).

Il n'y a aucun qui part d'une feuille blanche, ou juste les 2 demi-droites séquantes en A ?

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 21:55:47)


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#41 06-09-2018 22:06:04

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

On peut construire le repère orthonormé uniquement à partir du segment $[OI]$ :
1 - tracer la droite $(OI)$,
2 - avec le compas construire les graduations sur la droites $(OI)$,
3 - tracer la perpendiculaire à $(OI)$ passant par $O$,
4 - avec le compas construire les graduations sur la droites $(OJ)$.

Mais de toute façon, on en a pas besoin pour nos histoires de bissectrices.

Pour construire la bissectrice d'un angle, j'ai juste besoin que tu me donnes cet angle et le segment $[OI]$.


D'ailleurs, c'est à mon sens une erreur dans l'article de Bibmath. Il ne devrait pas supposer que le plan est muni d'un repère orthonormé.
Ce repère ne nous sert à rien pour définir la notion de constructibilité. La définition n'en parle pas du tout et se suffit à elle-même, sans supposer l'existence de quoique ce soit (mis à part les points $O$ et $I$, mais ces points sont introduit dans la définition au moment où elle en a besoin).

PS : Je vais de ce pas signaler ça comme une erreur via le lien disponible à cet effet. Fred ne sera peut-être pas d'accord avec moi.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 22:07:50)


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#42 06-09-2018 22:12:27

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

tibo a écrit :

PS : Je vais de ce pas signaler ça comme une erreur via le lien disponible à cet effet. Fred ne sera peut-être pas d'accord avec moi.

Dois-je en déduire qu'en fait, il n' y a pas une utilisation "usuelle" ?

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 22:26:31)


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#43 06-09-2018 22:26:06

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Tu ergotes vraiment sur des détails.

Tu me fais penser aux climato-sceptiques qui, quand on leur montre des études de climatologues, rétorquent
"Mais regardez, toutes ces modélisations se contredisent ! Certaines prédisent une augmentation de 2°C et d'autres de 6°C. Vous voyez, même les experts ne sont pas d'accord entre eux. C'est donc que cette histoire de réchauffement climatique est fausse."
Sauf que tous les modèles prédisent bien une augmentation de la température.

C'est la même idée ici.
Je ne suis pas d'accord avec l'ordre dans lequel Fred a écrit deux phrases dans son article. A mon sens il aurait dû supposer l'existence du repère orthonormé après avoir donné la définition, vu que la définition ne se sert pas du repère.
Mais la définition en elle-même est très largement acceptée comme bonne, et c'est à elle qu'on se réfère lorsque l'on parle de construction à la règle et au compas.


(Je vais devoir aller me coucher, je continuerai demain.)

Dernière modification par tibo (06-09-2018 22:26:17)


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#44 06-09-2018 22:30:41

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Le problème c'est que c'est important pour évaluer la complexité de savoir de quoi on part, si on part d'un repère orthornomé, d'un segment ou de rien (juste la figure des 2 demi-droites).
Car si on a déjà un angle droit, des constructions peuvent être simplifier, par exemple la complexité pour construire un segment de longueur racine de 2.

Donc pour notre sujet ce n'est pas des détails mais de la plus hautes importances.

Bonne nuit.


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#45 06-09-2018 22:36:57

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bah justement, moi je ne te demande pas de repère orthonormé.
Je veux juste ton angle et un segment $[OI]$.

Bonne nuit.


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#46 06-09-2018 22:40:03

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

tibo a écrit :

Je veux juste ton angle et un segment $[OI]$.

Tu en demandes trop (le segment), aprés si la tradition "usuelle" veut cela, je l'accepterais, encore faut-il que tu me montres que cette tradition existe bien.

A demain.


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#47 07-09-2018 05:33:22

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

Données : deux demi-droites d et d' d'origine commune O.

Choisir un point M sur d (gratuit, du moment qu'on ne lui demande rien).
Premier tracé : le cercle c de centre M passant par O.
On veut maintenant le point M' sur d' tel que OM'=OM. Ça, ce n'est pas gratuit, il faut le construire !
Deuxième tracé : le cercle de centre O passant par M. Le point M' est l'intersection de ce cercle avec d'.
Troisième tracé : le cercle c' de centre M' passant par O.
Quatrième tracé : la droite passant par O et par le deuxième point d'intersection de c et c'.

Ça fait quatre tracés. Inutile d'ergoter.

#48 07-09-2018 08:37:57

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Michel Coste a écrit :

1/ Données : deux demi-droites d et d' d'origine commune O.

2-3/ Choisir un point M sur d (gratuit, du moment qu'on ne lui demande rien).

4/ Inutile d'ergoter.

1/ Non, elles n'ont pas encore de noms (les 2 demi-droites), la seule chose de remarquable à ce stade c'est leur intersection.

2/ Je ne savais pas que dans les axiomes d'Euclide, il y avait l'axiome du choix, lol

3/ Et qu'est-ce qu'on fait si on choisit O ?

4/ Non, tu choisis d'ajouter aux axiomes d'Euclide un processus de nommage automatique + l'axiome du choix (AC) et ceci, ce n'est pas rien.

Je rappelle qu'AC est l'axiome qui permet de multiplier les oranges à volonté, et je ne suis pas sûr, que cette idée aurait plut aux hellénes.

Et avec ton processu de nommage automatique tu automatises le travail du mathématicien, à la limite prend un porcessus qui te trouve gratuit un point sur la bissectrice, autre que O et alors tu as ta bissectrice en un coup.

Dernière modification par Dattier (07-09-2018 08:57:43)


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#49 07-09-2018 10:01:55

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Dattier a écrit :

si tu reconnais que (1) "la bonne volonté est indispensable en maths", inutile de me répondre, sans cela j'attends une réponse de la part de ceux qui ne croient pas en (1)


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#50 07-09-2018 11:07:05

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Re,

Réponse rapide à ton avant-dernier message :
1/ J'ai toujours le droit de nommer les objets qui se trouve devant moi comme j'ai envie.
Notamment, on peut toujours appeler $d$ et $d'$ les deux demi-droites de départ.
Inutile de faire appel à un "processus de nommage automatique"... dont j'ignore d'ailleurs ce que c'est.

3/ On choisit un point $M$ distinct de $O$... Arrête de jouer l'idiot avec ce genre de remarques. Cette discussion s'est révélé plus intéressante que prévu en essayant de remonter à la justification précise de chaque étape. Essaye de faire preuve d'un peu de "bonne volonté" ^^ (C'est un troll, je n'ai toujours pas compris ce que c'est)

2/ et 4/ L'axiome du choix ne fait évidemment pas partie des axiomes d'Euclide. Mais on en a pas besoin ici.
Ce qui rend l'axiome du choix bizarre, c'est qu'il donne la possibilité de faire une infinité de choix simultanément. Et c'est cette infinité de choix qui entraîne des paradoxes un peu bizarre.

Ici M. Coste veut faire un choix, et ça, ça va.
Dans la pratique quand on fait des constructions à la règle et au compas, on s'autorise à choisir des points arbitraires sur des droites ou des cercles déjà tracés.


Néanmoins, la définition que je veux te faire admettre comme "usuelle" ne le permet pas. Donc je me l'interdis aussi.
Les seuls points que j'ai le droit d'ajouter à $P$ l'ensemble des points constructibles doivent être l'intersection de deux cercles, deux droites ou d'un cercle et une droite.

Et en parlant de cette définition d'ailleurs, on y trouve
"Lorsque l'ensemble des points que l'on se donne au départ est constitué de O et de I, on dit simplement que M est constructible (à la règle et au compas)."
C'est cette partie de la définition qui m'autorise à te demander le segment $[OI]$ en plus des deux demi-droites.

Dernière modification par tibo (07-09-2018 11:08:43)


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