Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Petite question de proba (je crois) » 29-07-2020 19:06:52

Bonjour,

Les remarques faites appellent quelques réflexions.

Ayoub4k a écrit :

... La probabilité qu'un dé avec n face tombe sur une de ces face est de 1/n, donc ton dé avec une infinité de faces ne tombera jamais sur une face (1/n=0) !! Pourquoi ?? ...

Le dé ne tombera presque jamais sur une face donnée, la probabilité correspondante (1/n) tendant vers zéro.

Ayoub4k a écrit :

... Théoriquement, un dé avec une infinité de face deviendra une sphère ...

Cela suppose une solution commune à deux problèmes différents:
a) le pavage de la sphère par un nombre quelconque d'éléments identiques, et
b) l'existence d'un polyèdre comportant une nombre quelconque de faces identiques,
ce qui est loin d'être évident; et plus encore
c) que le polyèdre représente une "approximation" de la sphère - comme un contour polygonal celui d'un cercle - et que lorsque le nombre (n) de faces augmente, le rapport des rayons des sphères inscrite et circonscrite tend vers l'unité ...
Le polyèdre qui répond au mieux au conditions précédentes est l'hexakis-icosaèdre, qui comporte 120 faces triangulaires et dont chacune est un triangle scalène: 120 faces triangulaires.

Pour d'éventuelles précisions, consulter les liens suivants:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_la_sph%C3%A8re
https://mathcurve.com/polyedres/catalan/catalan.shtml
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hexaki-icosa%C3%A8dre

Ayoub4k a écrit :

... et si tu lance une sphère, elle tombera jamais sur une face (car elle a 0 face).
conclusion : une dé avec un nombre infini de face <=> un dé avec zéro face ...

Les bipyramides et les anti-diamants permettent de concevoir (sinon de réaliser) des dés équilibrés présentant un nombre pair - mais illimité - de faces toutes équiprobables.

L'équidomoïde d'ordre (n) comporte (n) faces courbes équiprobables, correspondant à des portions de cylindre elliptique:

équidomoïde

#2 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 28-06-2020 19:31:24

Re-bonjour,

Tout vient à point pour qui sait attendre.
Voici la représentation en projection orthogonale des escaliers à 10, 20 et 30 marches. Les difficultés sont venues non de l'algorithme, mais de l'ajustement cohérent des conditions limites.
Le bord externe de chaque marche présente une longueur fixe égale au giron.
La marche la plus haute, non représentée ici et dont le coin droit se superpose au pôle (z = Rsph), n'est jamais adjacente à celle située immédiatement en-dessous (z' =  Rsph - Hm); cependant il n'y a pas lieu de s'attarder sur cette anomalie, dans la mesure où le plan de la dernière marche se confond avec le plateau du poste de garde; le bord de ce dernier, de dimensions supérieures à celles des marches, coïncide a priori avec celui de l'avant-dernière marche, de sorte qu'il n'y a pas de difficulté d'accessibilité.

Escalier 10 M
Escalier 20 M
Escalier 30 M

L'augmentation du nombre de marches conduit au tracé quasi-continu de 2 spirales radialement distantes de la largeur de l'escalier (Lesc); par exemple pour N = 500:
Dessin_500 M

#3 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 16-06-2020 12:43:33

Voici un tableau des hauteurs et girons correspondant à diverses valeurs du nombre de marches.
Les distances sont déterminées à 10-4 mm près, et peuvent être utilisée directement dans le tracé d'une image.

TableauNHG

Le programme source, très simple, reprend le calcul de la somme des angles.

L'instruction IncR(a, b) incrémente le réel (a) de la quantité (b).

PROGRAM Helice_Spherique;

 USES Crt, E_Texte, U_Math, Math;

 CONST Rsph = 3450; Lesc = 550; Rs2 = Rsph * Rsph;
       NminM = 5;  NmaxM = 45;

 TYPE PaireR = RECORD  Theta, Epsilon: Reel  END;
      Tab_P = ARRAY[1..NmaxM] OF PaireR;

 CONST P_00: PaireR = (Theta: 0; Epsilon:0);

 VAR Giron, Hauteur: Reel;
     Liste: Tab_P;

 PROCEDURE Aff_1(Nm: Word);
   CONST v = 14; w = v - 10;
   BEGIN
     E(0011); We(10, Nm, Nm, 5);
     E(0015); Write(Hauteur:v:w);
     E(0010); Write(Giron:v:w);
     E(0012); Write((Hauteur/Giron):v:6)
   END;

 PROCEDURE ZeroL(VAR L_: Tab_P);
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 1 TO NmaxM DO L_[k]:= P_00
   END;

 PROCEDURE Calc_T1(Nm: Word; h_, g_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   VAR k: Word; Dt2, Rk, s, Z2: Reel;
   BEGIN
     ZeroL(Liste); L_[Nm].Theta:= Pi;
     FOR k:= (Nm - 1) DOWNTO 1 DO
       BEGIN
         Z2:= Sqr((k + 1) * h_); Rk:= Sqrt(Rs2 - Z2);
         Dt2:= 2 * (Rk + Lesc);  s:= ArcSin(g_ / Dt2);
         L_[k].Epsilon:= 2 * s;  L_[k].Theta:= L_[k + 1].Theta - 2 * s
       END
   END;

 PROCEDURE Enum_G2(Nm2: Word; Gini, Hm: Reel; VAR G_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   CONST Delta = 0.0001;
   VAR Av, Aw, g, p, v, w: Reel;
   BEGIN
     g:= Gini; Calc_T1(Nm2, Hm, g, Liste); v:= L_[1].Theta;
     REPEAT
       IncR(g, Delta );   Calc_T1(Nm2, Hm, g, Liste); w:= L_[1].Theta;
       p:= v * w; IF (p>0) THEN v:= w
     UNTIL ((p<0) OR (g=Gini + 1));
     Av:= Abs(v); Aw:= Abs(w);
     IF (Av<Aw) THEN G_:= g - Delta
                ELSE G_:= g
   END;

 PROCEDURE Enum_G1(Nm1: Word; VAR H_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   CONST Gmin = 60; Gmax = (2 * Lesc);
   VAR Eg: Word; Hm1, p, v, w: Reel;
   BEGIN
     Eg:= Gmin - 1;                Hm1:= Rsph / Nm1; H_:= Hm1;
     Calc_T1(Nm1, Hm1, Eg, Liste); v:= L_[1].Theta;
     REPEAT
       Inc(Eg);   Calc_T1(Nm1, Hm1, Eg, Liste); w:= L_[1].Theta;
       p:= v * w; IF (p>0) THEN v:= w
     UNTIL ((p<0) OR (Eg=Gmax));
     Enum_G2(Nm1, Eg - 1, Hauteur, Giron, Liste)
   END;

 PROCEDURE Aff_0;
   BEGIN
     E(1015); Wt(9, 3, 'Nombre      Hauteur');
     Write('       Giron         Pente')
   END;

 PROCEDURE Enum_N;
   VAR Nmarch: Word;
   BEGIN
     Aff_0;
     FOR Nmarch:= NminM TO NmaxM DO BEGIN
                                      Enum_G1(Nmarch, Hauteur, Liste);
                                      Aff_1(Nmarch)
                                    END;
     E(0015); Wt(60, (NmaxM + 2), 'Å'); A_
   END;

 BEGIN
   Enum_N
 END.          

#4 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 15-06-2020 19:21:07

yoshi a écrit :

... Combien le Pascal te donne-t-il de décimales ?

Théoriquement 19 chiffres - soit autant que dans 263 - dans le cas des flottants au format Extended et des entiers Comp; il en affiche pratiquement 18.
C'est le seul type de réel que j'utilise, sauf exception rarissime très ciblée.
Cette précision tout à fait extravagante permet de m'assurer de la justesse des calculs  en réduisant leur éventuelle dérive à des seuils très faibles, les écarts relatifs ne dépassant pas  ~ 10-18; et aussi de contrôler la précision des limites résultant de calculs itératifs.

Je me suis initié à Python, et j'ai eu l'occasion de tester ses performances calculatoires. J'ai abandonné en partie à cause de la difficulté d'affichage correct des caractères.
De plus, ce qui m'intéressait était l'analyse numérique, la simulation des systèmes physiques et la synthèse des images; c'est pourquoi j'ai approfondi le Pascal.
Il m'est arrivé de l'associer à POV Ray, pour des images 3D relatives au problème de Tammes (là, j'ai pour une fois utilisé des flottants au format Single).

Libre Office est de très loin le meilleur logiciel de traitement de texte, et il est tout à fait adapté à la gestion des fichiers Word, Excell et apparentés. Je l'utilise parfois pour introduire des textes scientifiques sur des forums, lorsque les moyens typographiques disponibles sont inadaptés.
Peut-être pourrait-il te faciliter le travail.

Bon courage.

#5 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 15-06-2020 15:37:06

yoshi a écrit :

[EDIT]J'ai simplement remplacé tous les symboles que je prenais pour n par π

Effectivement, c'est devenu nettement plus lisible - et le nouveau caractère vient encore de décamper.
Comment as-tu fait ? Insertion de Latex ?


yoshi a écrit :

... Je pense que notre ami, en espérant qu'il repasse ... / ... voudra probablement tracer le polygone inscrit

Si je comprends bien, il lui faudrait tracer les quadrilatères $M'_kM'_{k+1} E'_{k+1}E'_k$  pour k allant de 1 à  Nm, nombre de marches choisi ? ...

Le sujet m'a immédiatement intéressé par son aspect graphique, mais il me faudrait auparavant coder la recherche de la racine (g) avec une précision suffisante, 1 µm par exemple - il s'agit d'un encadrement numérique arbitraire, et non pas d'une précision physique.
On peut bien sûr court-circuiter ce détail par une interpolation linéaire manuelle.
En vue plongeante, chaque marche apparaît comme une sorte de trapèze isocèle (M'kF'kE'k+1M'k+1) dont la base la plus proche de l'axe vertical a été incurvée en arc de cercle de centre (O). On peut bien sûr choisir le tracé du segment (E'kE'k+1).

yoshi a écrit :

Tu peux montrer ton code que j'essaie sa traduction Python puis le tracé ?

Aucun problème, je peux poster le programme source rédigé ce matin, et qui contient le calcul de la somme des angles (θ1).

 PROGRAM Helice_Spherique;

(* un escalier m‚tallique,en deux dimension,de 550mm de large,
sur un réservoir sphérique d'un rayon de 3450 mm.
Le départ de l'escalier est au niveau de la méridienne(mileu de la sphère)
et il effectue un demi tour pour rejoindre le garde corps qui se situe au sommet du réservoir.
 Noter que la pente de l'escalier est constante

 USES Crt, E_Texte, U_Math, Math;

 CONST Rsph = 3450; Lesc = 550; NmaxM = 50; Nm = 30; Hm = Rsph / Nm;

 TYPE PaireR = RECORD  Theta, Epsilon: Reel  END;     // Paire de 2 nombres réels au format Extended
      Tab_P = ARRAY[1..NmaxM] OF PaireR;          // Tableau unidimensionnel de paires

 VAR g: Reel; Liste: Tab_P;

 PROCEDURE Calc_T1(VAR L_: Tab_P);     // Calcul de Theta[1] = Liste[1].Theta,
                                                        //normalement nul pour la valeur de (g) recherchée
   CONST Rs2 = Rsph * Rsph;            
   VAR k: Word; Dt2, Rk, s, Z2: Reel;
   BEGIN
     L_[Nm].Theta:= Pi;
     FOR k:= (Nm - 1) DOWNTO 1 DO     // sommation depuis la dernière valeur Theta[N] = Liste[N].Theta
       BEGIN
         Z2:= Sqr((k + 1) * Hm); Rk:= Sqrt(Rs2 - Z2);     // Z2: carré de l'altitude (z) ; Dt2: 2 * Distance totale à l'axe
         Dt2:= 2 * (Rk + Lesc);  s:= ArcSin(g / Dt2);
         L_[k].Epsilon:= 2 * s;  L_[k].Theta:= L_[k + 1].Theta - 2 * s
       END

   END;

 PROCEDURE Aff_GTheta1;     // Affichage préliminaire Wt(x, y, '****'): affichage d'un texte ou d'un caractère
   CONST v = 21; w = v - 3;     // E(code) couleur du texte, du fond / effacement de l'écran (code>999)
   VAR i: Byte; s: Reel;          // Code = <abcd>; b: couleur du fond (0 à 7) ; <cd>: couleur du texte (0 à 15)
   BEGIN
     g:= 274; E(1015); Wt(5, 3, 'Nombre de marches: Nm = ');
     E(0013); Write(Nm:3);
     E(0015); Write('   Hauteur des marches: H: = ');
     E(0013); Write(Hm:7:3); E(0015);
     FOR i:= 1 TO 20 DO BEGIN
                          IncR(g, 1);                  Calc_T1(Liste);
                          Wt(5, 5 + i, 'Giron g = ');  E(0010);
                          Write(g:9:4);                E(0015);
                          Write('     Theta[1] = ');
                          s:= Liste[1].Theta;
                          IF (s>0) THEN E(0011) ELSE E(0012);
                          Write(s:v:w);              E(0015)
                        END;
     Wt(70, 27, '+'); A_
   END;

 PROCEDURE ZeroL(VAR L_: Tab_P);     // Initialisation à zéro
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 1 TO NmaxM DO
       WITH L_[k] DO BEGIN
                       Theta:= 0; Epsilon:= 0
                     END
   END;

 BEGIN
   ZeroL(Liste); Aff_GTheta1;
 END.

#6 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 15-06-2020 13:31:40

Le comportement numérique de la fonction implicite g = F(N) paraît conforme aux prévisions:
N = 20 _ h = 172.5 mm _ g = 406 mm _ pe = 0.425
N = 25 _ h = 138.0 mm _ g = 335 mm _ pe = 0.412
N = 30 _ h = 115.0 mm _ g = 285 mm _ pe = 0.404
La pente correspondante est nettement plus faible.

N=20
N=25
N=30

#7 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 15-06-2020 08:55:22

Reprenons les projections orthogonales (M'k, M'k+1, E'k, E'k+1) des points (Mk, Mk+1, Ek, Ek+1) sur le plan d’ordonnée nulle (xOy).
Les bords des deux marches consécutives de rang (k, k + 1) déterminent l’écart angulaire:

εk = θk+1 - θk .

                                 
Soit (F'k) le point de (OM'k) tel que les distances (O F'k, OE'k+1) soient égales; la base du triangle isocèle en (O) ainsi créé, à laquelle on impose la longueur (g), devient par convention le giron de la marche de rang (k).

Spirale sphérique

On obtient dans ces conditions:

g = 2.OE'k+1Sin(εk/2) = 2(L + rk+1)Sin(εk/2) = 2(L + (R2 - zk+12)1/2)Sin(θk+1 - θk) .

À ce stade, il suffit de convenir que les altitudes des marches successives sont en progression arithmétique

zk = R(k/N) = k.h , ce qui implique h = R/N ;

Les angles polaires θk = (Ox, OMk) sont déterminés de proche en proche depuis le bord de la dernière marche (θN = 180 °) par la relation de récurrence:

θk = θk+1 - εk , avec εk = 2.ArcSin(g/[2(L + rk+1)]) et rk+1 = (R2 - (k + 1)2h2)1/2 .

Une rotation de 180° séparant les bords des première et dernière marche, (θ1) est nécessairement nul. Le giron commun à toutes les marches vérifie par conséquent l'équation numérique:

0 = θN - εN-1 - εN-2 - ... - ε1 , soit encore: π = Σk=1N-1k) .

C'est là qu'apparaît l'inconvénient de cette démarche: la recherche d'une racine par voie purement numérique.

Merci de me signaler les erreurs.

#8 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 14-06-2020 18:51:08

Il faut reprendre la première condition limite: une marche initiale de hauteur nulle entraîne un gaspillage de place dans la construction, et rehausse inutilement la pente compte tenu de la limitation imposée à la torsion de l'escalier - j'étais obnubilé par l'idée d'une hélice partant d'un point du demi-axe (Ox).
Le bord (M1E1) de la première marche se situe à la verticale de (Ox), au-dessus du plan équatorial (xOy) à une altitude (z1) positive;
les coordonnées du point (E1) le plus éloigné de l'axe vertical vérifient donc:

θ1 = 0 , φ1 < $\pi$/2 , x1 = R + L , y1 = 0 , z1 > 0 .

Une évaluation approximative du nombre de marches et de leur giron permet de tester la conformité anatomique des données de l'énoncé.

1°) Le nombre de marches est donné par le rapport N = R/h , ce qui , en reprenant les normes indiquées au message précédent (h ~ 17 à 21  cm) conduit au créneau:

[ N1 = 345/21 = 16.4 ~ 16 ; N2 = 345/17 = 20.3 ~ 20 ] .


2°) Soient d'autre part (E'1, E'2 ... E'N) les projections orthogonales des extrémités des marches (E1, E2 ... EN) sur le plan équatorial (xOy); elles définissent une ligne brisée constituée de (N - 1) segments consécutifs de longueur grossièrement de l'ordre de (g)(1), approximativement circonscrite par un demi-cercle de diamètre (R + 2L = 455 cm) et de longueur:

($\pi$/2)(R + 2L) ~ (N - 1)g ;

on peut en déduire une autre évaluation du nombre de marches: N = 1 + ($\pi$/2)(R + 2L)/g ,
soit en reprenant les valeurs extrêmes données pour le giron (g ~ 21 à 27 cm):

N3 = 1 + ($\pi$/2)(455/27) ~ 27 ; N4 = 1 + ($\pi$/2)(455/21) ~ 35 .

Cela amènera à envisager des marches moins hautes et plus larges, ce qui n'est pas dangereux:

h = R/N ~ 15 cm et g ~ 32 cm pour N = 23 (valeur moyenne).

La pente de l'escalier, à laquelle l'énoncé impose une valeur fixe, aura pour valeur approchée:

pe = h/g ~ (2/$\pi$)(R/(R + 2L)) ~ 0.50 ,

résultat nettement inférieur à celui que l'on peut déduire des normes: 19/27 = 0.70 .

(1) PS: À la réflexion, l'approximation devient énorme (~ 40%) dans la partie supérieure de l'escalier, mais elle ne concerne que les dernières marches et n'invalide pas le résultat sur les ordres de grandeur.
Il ne s'agit que d'une recherche préliminaire sur les caractéristiques de la construction.

[EDIT]J'ai simplement remplacé tous les symboles que je prenais pour n par $\pi$
Yoshi

#9 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Hélice sphérique. » 12-06-2020 08:11:16

Bonjour,

J'ai découvert hier soir le sujet, et je crains, assez surpris, qu'on me prête beaucoup plus que je ne puis donner.

yoshi a écrit :

... Le Physicien Wiwaxia me semble être en mesure de te simplifier la vie.
Il passe assez régulièrement.
Je vais déplacer ce message pour qu'il y ait davantage de chance qu'il le voie et y réponde ...

Ceci dit, c'est intéressant. Je me demande si l'impasse de la discussion ne vient pas de l'ambiguïté du mot "pente", qui représente:
a) une grandeur locale pour toute courbe tracée sur la sphère et définissable à partir du vecteur unitaire tangent (T), soit en convenant de prendre (xOy) pour plan horizontal:

p = tan(α) , avec sin(α)= Tz/║T║ = Tz ;

b) le rapport pe = h/g de la hauteur des marches (supposée constante) à leur profondeur (dénommée "giron"), définition floue en l'absence de toute autre précision, compte tenu du non-parallélisme des bords des marches.

Si l'assimilation des deux termes paraît aller de soi pour une surface cylindrique, elle semble beaucoup plus problématique dans le cas d'une sphère. il est donc prudent de s'en tenir à la seconde définition, d'autant que la présence de marches d'escalier de même hauteur suggère un découpage de l'axe vertical (z'z) en segments égaux de longueur (h).

On suppose donc la sphère centrée en (O), dotée d'un rayon R = 3450 mm , et les coordonnées de tout point (M) de cette surface représentées par les équations:

x = R.Sin(φ)Cos(θ) , y = R.Sin(φ)Sin(θ) , z = RCos(φ) ;

celles de la projection (H) du point précédent sur l'axe vertical (z'z): x = y = 0 , z = RCos(φ) ;
les deux points sont ainsi séparés par la distance: r = HM = RSin(φ) = (R2 - z2)1/2 .

Le bord de toute marche est un segment (ME) de longueur (L = 550 mm) aligné avec (H); l'extrémité extérieure (E) admet pour coordonnées:

x = (r + L)Cos(θ) , y = (r + L)Sin(θ) , z = RCos(φ) .

Imaginons une vue de dessus de l'escalier ascendant, le bord de la marche de rang nul (au niveau du sol) coïncidant avec la partie positive de l'axe (x'x); on a dans ce cas pour le point (E0), qui se trouve au niveau de l'équateur;

θ0 = 0 , φ0 = π/2 ,  x0 = R + L , y0 = z0 = 0 ;

On arrive au plateau supérieur (zN = R) après avoir gravi (N) marches et accompli un demi-tour (θN = π); le point extérieur (EN) a désormais pour coordonnées:

φN = 0 , xN = - L , yN = 0 , zN = R ;

cette position est purement théorique, parce que le bord de la dernière marche se confond avec celui du plateau supérieur, où se trouve le garde; le point (EN) peut se situer nettement plus loin de l'axe vertical (x0 < - L), ce qui ne sera pas forcément inutile compte tenu de ce que le décalage radial d'une marche sur sa voisine est maximal au pôle.

Pour résumer, le bord externe de la marche de rang (k) aura pour coordonnées:

xk = (rk + L)Cos(θk) , yk = (rk + L)Sin(θk) , zk = RCos(φk) ,
avec rk = RSin(φk) = (R2 - zk2)1/2 .

Voilà un point de départ pour la construction de l'escalier, défini par une séquence de (N + 1) termes.
Résultats à vérifier.
La seule issue que je vois est un calcul programmé assez lourd, dont le principe repose sur la définition du giron.
Je poursuis dès que possible.

À titre indicatif, je vous signale les normes de sécurité concernant les marches d'escalier - quoiqu'on puisse s'en affranchir en partie dans le cas de militaires entraînés aux parcours sportifs:
Les dimensions classiques d’un escalier sont les suivantes :

    Hauteur de marches : entre 17 et 21 cm
    Giron de marche : entre 21 et  27 cm

https://www.camif-habitat.fr/reglementa … er-normes/

#10 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ? » 08-05-2020 09:41:02

Bonjour,

Quelqu'un peut il m'aider à comprendre cette différence entre les marches d'escalier infiniement petites (Manhattan) et la vrai diagonale (Euclidienne) ?

Ton erreur est de croire que pour un petit triangle rectangle (ABC) de diagonale (AC) le rapport des distances d'Euclide (D) et de Manhattan (L) tend vers 1 lorsque la hauteur issue de (A) devient infiniment petite.
Je prend une feuille de papier petit carreau (5mm) je monte de 12 carreaux, je tourne à droite de 12 carreaux , chemin = 24 carreaux.
Pour reprendre ton exemple, et en plaçant le premier point (A°) à l'origine du repère:
les 3 sommets présentent les coordonnées: A°: (0, 0), B°: (0, 12), C°: (24, 12);
les côtés de l'angle droit, parallèles à l'un des axes du repère, sont séparés par des distances identiques, quelle que soit la définition utilisée:

DA°B° = ((y - y)2)1/2= |y - y| = LA°B° = 12 ;
DB°C° = ((y - y)2)1/2= |y - y| = LB°C° = 24 .

... et si je fais des marches de 1 carreau, j'ai toujours 12 + 12 = 24 pour le chemin complet.
Maintenant la ligne brisée joignant les deux derniers points (B°, C°) résulte d'une succession de 12 marches d'escalier impliquant les points intermédiaires (pour la plupart):

Mk = (2k, k) ; Mk + 1 = (2k + 2, k + 1) ; Nk = (24k + 2, 12k) ,

avec 0 ≤ k < 12 , M0 confondu avec A° et M12 avec B° .

Les points successifs (MkMk + 1) présents sur l'hypoténuse sont désormais séparés:
a) par la distance euclidienne Dk = D(MkMk + 1) = ((xk + 1 - x)2 + (yk + 1 - yk)2)1/2 = (22 + 12)1/2 = 51/2 ...
b) et par celle de Manhattan: Lk = L(MkMk + 1) = |xk + 1 - xk)| + |yk + 1 - yk| = 2 + 1 = 3 (somme des longueurs des deux petits côtés (MkNk, NkMk + 1), supérieure à la précédente;
d'où les distances totales, pour l'ensemble des 13 points alignés:
DAC = 12*51/2 et LAC = 12*3 .

Quel que soit le nombre d'étapes intermédiaires - et aussi petites que soient les marches - intervient un rapport constant entre les deux sortes de longueurs: Lk/Dk = L/D = 3/51/2 ,  supérieur à l'unité .

#11 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ? » 23-04-2020 07:54:37

Bonjour,

Tu calcules en fait la distance de Manhattan séparant les extrémités de la diagonale, définie par la relation:

DAB = |xB - xA| + |yB - yA| ,

et qui représente la distance parcourue par les taxis dans les rues de New-York.

Cette grandeur est indépendante du chemin suivi tant que les variations des coordonnées (x, y) entre chaque changement de direction gardent toujours le même signe. Il s'ensuit que le parcours considéré reste à l'intérieur du rectangle de diagonale (AB), et que la distance calculée est minimale.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_de_Manhattan

https://mathworld.wolfram.com/TaxicabMetric.html

La distance de Manhattan n'est qu'un cas particulier des p-distances, définies par la relation:

DAB = ((xB - xA)p + (yB - yA)p)1/p .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_ … 9matiques)

#12 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » demonstration du volume de cylindre oblique » 21-04-2020 09:10:52

Bonjour,

Tu ne trouveras nulle part (1) la démonstration d'une formule fausse.

Pour te convaincre de ton erreur, tu peux reprendre l'analogie du cylindre oblique avec une pile de pièces de monnaie: elle est connue depuis quatre siècles ...
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … tm#oblique

Pour les pyramides et les cônes obliques, résultat semblable : V = (1/3)Sh ,
hormis l'intervention d'un facteur différent de l'unité.
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … tm#mesures


(1) sur tout site de mathématiques digne de ce nom, évidemment ...

#13 Re : Programmation » Nouvel algorithme de calcul de cosinus. » 18-03-2020 09:38:22

Dès la fin du 16me siècle la table de Stévin (1548-1620) fournit les valeurs des fonctions trigonométriques avec neuf décimales; on lit par exemple dans le document déjà mentionné:
sin(48°) = 0.743 144 825
alors qu'une calculatrice donne
sin(48°) = 0.743 144 825 477 39 .

En remontant au début du 15me, on trouve la performance d'Al-Kashi qui parvient à déterminer la valeur de Sin(1°) sur 16 chiffres significatifs (du système décimal), et atteint donc une précision  ~ 10-16.
Le texte ne dit pas que la formule donnée se réfère à un rayon égal à 60.

Le programme Pascal ci-dessous reprend l'évaluation donnée en base sexagésimale.

JCsiH3akvkb_Text-Calcul.png

Si l'algorithme t'intéresse ...

 PROGRAM Al_Kashi;

 USES Crt, E_Texte;

 CONST Imax = 9; Base = 60;

 TYPE Tab_B = ARRAY[0..Imax] OF Byte;

 CONST LstE: Tab_B = (01, 02, 49, 43, 11, 14, 44, 16, 26, 17);

 VAR Sin1d: Reel;

 PROCEDURE Aff2(SaK: Reel);
   CONST C1 = 5; L1 = 15; u = 21; v = u - 3;
   VAR Ecart, S1d: Reel;
   BEGIN
     S1d:= Sin(Pi / 180); Ecart:= (SaK - S1d) / S1d;
     E(0015);             Wt(C1, L1, 'Valeur de Sin(1ø) :');
     Wt(C1, L1 + 2, 'R‚sultat de Al-Kashi :      ');
     E(0010);             Write(Sin1d:u:v);
     E(0015);             Wt(C1, L1 + 4, 'Virtual Pascal :            ');
     E(0010);             Write(S1d:u:v);
     E(0015);             Wt(C1, L1 + 6, 'Ecart relatif :             ');
     E(0012);             Write(Ecart:10);
     A_

   END;

 PROCEDURE Aff1(K_: Byte; P_, S_: Reel);
   CONST t = '   '; u = 21; v = u - 3;
   BEGIN
     E(0010); We(1, K_ + 3, K_, 5);
     E(0012); Write(t, P_:u:v);
     E(0014); Write(t, S_:u:v)
   END;

 PROCEDURE Calc_Sin1d(VAR S_1d: Reel);
   VAR k: Byte; f, g, p, s, t: Reel;
   BEGIN
     s:= LstE[0]; f:= 1;
     FOR k:= 1 TO Imax DO
       BEGIN
         g:= f / Base;      f:= g;
         p:= f * LstE[k]; t:= s + p;
         s:= t;           Aff1(k, p, s)
       END;
     S_1d:= s / Base
   END;

 BEGIN
   E(1000); Calc_Sin1d(Sin1d); Aff2(Sin1d)
 END.

Alors je doute de l'intérêt réel de ta trouvaille ...

Ma petite formule de cosinus est magique ... / ... En général il donne 4 chiffres exacts après la virgule à  .0001 près

Peut-être devrais-tu t'intéresser davantage à l'histoire des Mathématiques, et accorder un peu plus de considération à l'héritage médiéval ...
Le code proposé se traduit sans problème dans le langage de la calculatrice (hors les instructions d'affichage, bien sûr).

#14 Re : Programmation » Nouvel algorithme de calcul de cosinus. » 17-03-2020 08:46:40

Alain Ratomahenin a écrit :

Je voulais vous faire remarquer que si ma formule avait été inventé au moyen âge comme il aurait été facile d'établir les tables trigonométriques. Je l'ai mise au point il y a 25 ans de ça ...

Elles l'ont été !

Dans la construction des tables, se pose toujours, comme à l’époque de Ptolémée, le problème de la détermination  du  sinus  de  1° :  enjeu  dont  on  comprend  qu’il  conditionne  la  précision  de  la  table.  Diverses méthodes  sont  proposées,  plus  précises  que  celles  de  Ptolémée.  L’apport  le  plus  original  en  la  matière  futcelui  d’Al-Kashi,  mathématicien  iranien  de  la  première  moitié  du  XVe  siècle,  dans  son  traité Epître  de  lacorde et du sinus (Risalat al-watar wa-l-jayb) écrit en 1400 ...
... / ...
Une des toutes premières figures de la trigonométrie européenne est Johann Muller, dit Regiomontanus (1436-1476), qui publie un grand traité de trigonométrie, Des triangles de toutes sortes, qui pour la première fois sans doute, n’est pas une partie d’un manuel d’astronomie, mais un livre de mathématiques à part entière. La trigonométrie, vieille de plus de mille ans, commence un chemin autonome. Regiomontanus publie vers 1464 des tables trigonométriques, d’abord avec un rayon de 6 000 000, héritage de l’ancien système sexagésimal, puis de 107 ...

Es-tu à ce point incapable d'assimiler les informations que l'on te donne ?

#15 Re : Programmation » Nouvel algorithme de calcul de cosinus. » 06-03-2020 08:06:36

Bonjour,

... je te propose de demander à Google : angles remarquables ...

Rien ne saurait surprendre dans cette caverne aux merveilles qu'est l'encyclopédie Wolfram-Mathworld:
https://mathworld.wolfram.com/Trigonome … sPi10.html
https://mathworld.wolfram.com/Trigonome … sPi12.html
https://mathworld.wolfram.com/Trigonome … sPi24.html
https://mathworld.wolfram.com/Trigonome … sPi30.html
https://mathworld.wolfram.com/Trigonome … sPi32.html

Ton projet présenterait un certain intérêt s'il s'agissait d'une suite convergeant rapidement vers une limite égale à Cos(θ), ou tout au moins simplement reliée à cette fonction trigonométrique.

Or il n'en est rien: il faut, pour autant qu'on puisse le deviner sur les explications que tu donnes:
a) procéder à une décomposition en base 2 du rapport r =  2θ/π , jusqu'à atteindre le rang limite convenu (N);
b) disposer des (N) valeurs des cosinus remarquables correspondants Cos(π/2k+1);
c) réaliser la sommation des petits angles apparaissant à la première étape (a),
donc recourir presqu'autant de fois à l'expression de Cos(a + b) = Cos(a)Cos(b) - Sin(a)Sin(b) ,
ce qui implique de connaître aussi les (N) valeurs des sinus ... cela commence à faire lourd.

En notation décimale, on peut viser une précision honnête sur six chiffres (10-6), ce qui correspond en binaire à un nombre de termes N = 6.Ln(10)/Ln(2) ~ 20;
le cumul inéluctable des erreurs d'arrondi accompagnant ton procédé contraindra à aller nettement plus loin.
Cela ne sera (en supposant l'algorithme correct) ni rapide, ni pratique.

Tu reprends en fait, mais d'une manière beaucoup plus brouillonne, la stratégie adoptée il y a une sixaine de siècles par les mathématiciens arabes et indiens, pour l'établissement des tables trigonométriques, et qui sont parvenue par le calcul manuel à une précision prodigieuse.
Voir la note documentaire
http://assprouen.free.fr/fichiers/table … tables.pdf
donnée dans la précédente discussion, et que tu aurais dû méditer.

Autre lien, à consulter éventuellement:
https://socratic.org/questions/how-do-y … -cos-pi-10

#16 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Arithmétique trigonométrique : la multiplication. » 01-03-2020 17:29:24

Cherchez, et vous trouverez.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_ … %A9triques
... Le mathématicien perse Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī produisit des tables des sinus et des tangentes, et apporta aussi sa contribution à la trigonométrie sphérique. Vers le Xe siècle, d'après l'œuvre d'Abu l-Wafa, il apparaît que les mathématiciens musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec 8 décimales exactes, ainsi que des tables de valeurs de la fonction tangente ...
On s'en voudrait de paraître insistant: Cos(x), Sec(x), Sin(x), Cosec(x), Tan(x), Cotan(x):
https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_ … %A9triques

Ceci dit, le sujet de la construction des tables trigonométriques est  passionnant:
http://assprouen.free.fr/fichiers/table … tables.pdf

#17 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Arithmétique trigonométrique : la multiplication. » 01-03-2020 16:35:33

Il y a apparemment des internautes qui ne sont pas doués pour la navigation ... et dont la naïveté est confondante.

... Il nous faudra donc definir une table des secantes tout comme la table des sinus. Ceci se définit facilement comme étant l'inverse du cosinus ou du sinus alpha.
... / ...
Non c'est bien moi qui découverts ceci il y a plus de vingt ans : j'ais connu la trigonométrie comme tout le monde et il n'a jamais été question une seule fois de cette sécante soit disant découverte dans l'ancien temps surtout par un français ...

JCbo6f1fMNb_0301-Table-198.png

Même ouvrage: Handbook of Mathematical Functions , p 198 et suivantes ...

#18 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de géométrie plane » 01-03-2020 07:50:00

Bonjour,

Je me demande si le problème n'a pas été mal posé, dès le départ.

... O est le point de lancer, A une boule, C le cochonnet, et B une boule lancée qui percute la boule A et finit de glisser vers le cochonnet, dont je cherche à calculer le point d'impact ...

Il faut:
a) que les boules, comme le cochonnet, présentent un rayon négligeable afin d'être réductibles à un point;
b) que le point de collision se situe sur l'un des axes, par exemple (x'x).

JCbgsZYTl6b_0103-P%C3%A9tanque.png

Les positions initiales de (A) et (C) déterminent la valeur de l'angle (β).

Le choc vérifie alors deux relations:

1) la conservation de la quantité totale de mouvement; = PA + PB ,
qui implique:

mV° = mVA.Cos(α) + mVB.Cos(β) et mVA.Sin(α) - mVB.Sin(β) = 0 ;

2) la conservation de l'énergie cinétique totale du système, dans l'hypothèse d'un choc parfaitement élastique:

(1/2)m(V°)2 = (1/2)m(VA)2 + (1/2)m(VB)2 .

#19 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Arithmétique trigonométrique : la multiplication. » 29-02-2020 16:34:39

Notre découvreur inconsolable gagnerait beaucoup à la consultation du Manuel des Fonctions Mathématiques (1045 p) d'Abramowitz et Stegun, paru en juin 1964 dont la 9me édition (novembre 1970) a été numérisée;
http://apps.nrbook.com/abramowitz_and_stegun/index.html
Voir page 72.

Pour être plus rapidement mis au parfum, activer le lien
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sec%28x%29

Les tables de Bouvard et Ratinet (Hachette1957), de De Saint-Paul (Gauthier-Villars 1967) et de Laborde (Dunod 1963), pieusement conservées dans ma bibliothèque, ne font même plus allusion aux fonctions sec(x) et cosec(x): elles étaient déjà tombées en désuétude à cette époque.
Je les connaissais de nom, au titre d'objets de collection; il m'a semblé, par la suite, qu'elles restaient plus fréquemment utilisées en pays anglo-saxon.
Le calcul sur ordinateur a de toutes façons réglé définitivement la question de leur opportunité.

#20 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Arithmétique trigonométrique : la multiplication. » 29-02-2020 15:34:40

Salut,

On ne saurait ajouter rien de mieux à la réponse de Yoshi (#23).
Il y a cependant des types d'arguments auxquels on ne peut rester indifférent.

Alain Ratomahenin a écrit :

@Yoshi.
... / ... Tout ce que tu sais sur la secante ne sont que des mensonges inventés par les gens qui me suivent de près dans mes activités sur internet ...

Libre à l'auteur de ces déclarations de vouloir sombrer dans le ridicule.
Ces quelques liens lui sont adressés comme bouées de sauvetage:

http://serge.mehl.free.fr/anx/sec.html
http://www.gecif.net/articles/mathemati … onometrie/
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … cante.html
http://mathworld.wolfram.com/Secant.html
https://www.mathcurve.com/courbes2d/sec … toid.shtml

#21 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme calcul profondeur entre 2 objets sur photo » 27-01-2020 10:13:53

La focale de l'appareil (d) est une donnée fictive, puisqu'elle varie proportionnellement à l'agrandissement imposé à l'image, lors de toute exploitation.

On ne peut pas faire, par contre, l'économie de l'une des distances horizontales (D1) séparant le centre optique (C) de l'objectif de l'un des points objets. Ton problème me paraît malheureusement sans solution en ce qui concerne la photographie étudiée.

Par contre, pour les paysages urbains, une photographie aérienne (ou satellitaire) combinée à une perspective pourrait te permettre de déterminer certaines hauteurs.

#22 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une opération » 27-01-2020 09:45:57

Bonjour,

C'est une énigme intéressante, qui admet en effet 15 solutions, correspondant à 4 valeurs du premier chiffre:
https://www.cjoint.com/doc/20_01/JABiMb … e-3467.png

#23 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme calcul profondeur entre 2 objets sur photo » 21-01-2020 14:19:00

Le plan de la table est à priori horizontal, de même que l'axe optique (z'z) de l'objectif.
On peut éventuellement définir des angles, mais ce procédé ne permettra pas de sortir de l'impasse puisque les fonctions trigonométriques (sin(u), cos(u), tan(u)) correspondent à des rapports de longueurs.

On peut aussi introduire le point de fuite (F), projection sur le plan de l'image d'un point rejeté à l'infini sur l'une des droites parallèles (A1A2), (B1B2) ... etc .
L'image ci-dessous illustre la difficulté de le localiser correctement, à cause des distorsions produites par la lentille:
https://www.cjoint.com/doc/20_01/JAvlYz … 00x490.png

Un tracé reste néanmoins envisageable; le point (F) permet de situer l'axe (x'x), mais pas d'aller (beaucoup) plus loin:
https://www.cjoint.com/doc/20_01/JAvmve … 00x490.png
L'introduction de points supplémentaires (M1, N1) se heurte rapidement à l'absence d'informations concernant la distance (d), en raison de l'intervention de la projection centrale.

#24 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme calcul profondeur entre 2 objets sur photo » 20-01-2020 23:24:24

Crocostor a écrit :

... Pourtant les scientifiques arrivent bien à calculer à quelle distance ce situe telle planète ou étoile non ?

Pour les étoiles proches, on peut recourir à des pointages à six mois d'intervalle, ce qui permet d'utiliser la distance (T1T2) séparant deux positions opposées de la Terre sur son orbite, distantes de 300 millions de kilomètres.
L'évaluation de la distance des objets plus lointains est liée à la nature et aux propriétés de leur rayonnement.

Crocostor a écrit :

... Il me semblait que des reconstitutions de monuments à l'échelle étaient possibles à partir de photos.

À condition de disposer des plans d'occupation du sol (ou de documents équivalents), dont on peut déduire un grand nombre de distances sur un plan horizontal.

La clef du problème, c'est la nécessité d'un minimum de données concernant la profondeur.

#25 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme calcul profondeur entre 2 objets sur photo » 19-01-2020 16:37:20

"Si je connais la taille du premier verre, ainsi que la profondeur entre les 2 verres, je peux savoir qu'elle taille devra faire le 2ème verre.
Donc, si je connais la taille des 2 verres alors je pourrai connaitre la profondeur entre les 2 verres"

L'égalité de deux rapports suppose l'intervention de 4 distances: les tailles des 2 verres, la distance cherchée (D) plus l'une des deux autres (D1 ou D2) .
Une donnée supplémentaire paraît nécessaire, malheureusement.

Une autre démarche pourrait être envisagée: la projection des bords circulaires en ellipses sur la plaque photoréceptrice.
Cependant l'aplatissement est si prononcé qu'il entraîne une grande incertitude sur les éventuels résultats; et le procédé n'est pas transposable à des immeubles parallélépipédiques, ou de forme quelconque.

Pied de page des forums