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#1 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale impropre » Hier 21:23:38

Bonsoir,

As-tu réfléchi deux secondes avant de poser cette question ?

brics a écrit :

et aussi j'ai une question
si deux fonctions f,g positive son équivalent en un point a, la valeur de l'integrale aux bornes de ]a,b] n'est pas la même ?c'est à dire
[tex]\int_{a}^{b}{f}=\int_{a}^{b}{g}[/tex]?

Essaye avec un exemple "simple" : $f(x)=1$ et $g(x)=1+x$ qui sont équivalentes en $x=0$...

Roro.

#2 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale double » Hier 21:21:31

Bonsoir,

Si je lis bien ton énoncé, je dirai plutôt que (je ne comprend pas pourquoi tu parles de la droite $y=x$) ;
$$I = \int_0^\pi \int_0^\pi (x+y)\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy.$$

Dans ce cas, tu peux calculer les deux intégrales suivantes (puis les sommer - tu remarqueras qu'elles sont égales) :
$$I_1 = \int_0^\pi \int_0^\pi x\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy = \Big( \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm dx \Big) \Big( \int_0^\pi \sin(y) \mathrm dy\Big).$$
$$I_2 = \int_0^\pi \int_0^\pi y\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy = \Big( \int_0^\pi \sin(x) \mathrm dx \Big) \Big( \int_0^\pi y\sin(y) \mathrm dy\Big).$$

Roro.

#3 Re : Entraide (collège-lycée) » derivation question » 07-01-2020 20:09:41

Bonsoir,

72Messo10 a écrit :

Merci pour ta réponse mais Ducoup la formule est la meme pour n'importe quelle composition?

Oui, cette formule est vraie dès que $f$ et $g$ sont dérivables...

Roro.

#4 Re : Entraide (collège-lycée) » derivation question » 06-01-2020 20:42:42

Bonjour,

Ta question est en fait celle de la dérivée de fonctions composées, qui je crois n'est plus au programme de lycée.

En bref, si tu as deux fonctions $f$ et $g$ que tu sais dériver, comment dérive-t-on $h:x \mapsto f(g(x))$ ? (et peut-on le faire ?)

La réponse est oui, et la formule est la suivante :
$$h'(x) = f'(g(x)) \times g'(x).$$

Par exemple, si tu dois dériver la fonction définie par $\displaystyle h(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$ alors tu peut voir cette fonction comme une composée en posant $f(x) = \sqrt x$ et $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$. Puisque tu sais que $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$ et que $\displaystyle g'(x) = -\frac{1}{x^2}$, tu en déduis avec la formule précédente que
$$h'(x) = \frac{1}{\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{x}}} \times \Big(-\frac{1}{x^2}\Big) = \frac{-1}{2 x\sqrt x}.$$

Roro.

#5 Re : Entraide (supérieur) » Sobolev » 03-01-2020 22:03:57

Bonsoir,

En fait, l'indication marche très bien (enfin, il faut savoir utiliser ce qui est intéressant...)

Puisque $u(x) - u(y) = \int_y^x u'(t) \mathrm dt$, tu peux utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour en déduire
$$|u(x) - u(y)|  \leq \sqrt{\Big| \int_y^x 1  \mathrm dt\Big|} \, \sqrt{\Big|\int_y^x u'(t)^2 \mathrm dt\Big|} \leq C \sqrt{|x-y|}.$$

Roro.

#6 Re : Entraide (supérieur) » suite définie recursivement » 03-01-2020 21:57:40

Bonsoir,

Une méthode assez classique pour étudier ces suites géométrico-arithmétiques : $a_{n+1} = \alpha a_n + \beta$, est de chercher un nombre réel $r$ tel que la suite définie par $b_n = a_n + r$ soit géométrique.

On peut alors expliciter facilement $b_n$, puis $a_n$.

Dans ton cas, on trouve $r=1$ et $b_{n+1} = 2 b_n$.

Roro.

#7 Re : Entraide (supérieur) » Chaînette de gaudi » 03-01-2020 21:52:02

Bonsoir,

J'ai l'impression qu'on te demande la longueur de la chainette... et donc le calcul d'une intégrale.

Roro.

#8 Re : Entraide (supérieur) » le cercle unité centré en l'origine de R² n'est pas simplement connexe » 29-12-2019 15:54:04

Bonjour,

La démonstration se trouve dans tous les bouquins introduisant ce sujet, et sur plein de sites. Je ne vais pas la recopier ici !
Voir par exemple https://math.unice.fr/~labourie/preprin … upfond.pdf autour de la page 8.

Roro.

#9 Re : Entraide (supérieur) » le cercle unité centré en l'origine de R² n'est pas simplement connexe » 27-12-2019 20:16:22

Bonsoir,

Une fois n'est pas coutume, je pense que Fred a confondu le cercle unité de $\mathbb R^2$, et le disque de $\mathbb R^2$.

En effet, le cercle dont tu parles n'est pas simplement connexe.

Pour le démontrer, il faudrait savoir ce que tu as à ta disposition. Le plus classique étant certainement de montrer que si deux lacets sur le cercle sont homotopes, alors ils ont le même degré... puis de construire deux lacets de degrés différents !

Roro.

#10 Re : Entraide (supérieur) » Modes de convergence probabilité » 21-12-2019 20:35:32

Bonsoir,

Que penses-tu du cas $g(x) = x^2$ ?

Autrement dit est ce que : $u\in L^p \, \Longrightarrow \, u^2 \in L^p$ ?

Si $g$ est lipschitzienne, on doit pouvoir arriver à une conclusion positive.

Roro.

#11 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 19-12-2019 05:33:11

Bonjour,

"Localement intégrable" signifie "intégrable sur tout compact".

Roro.

#12 Re : Entraide (supérieur) » Fourrier » 16-12-2019 06:26:40

Bonjour,

Il y en a au moins un qui ne doit pas être nul... mais je répète ma question : As-tu réfléchi à ce que signifie développer en série de Fourier ?

Roro.

P.S. Si tu réponds à la question que je te pose, tu verras qu'il n'y a aucun calcul à faire pour obtenir le résultat...

#13 Re : Entraide (supérieur) » Fourrier » 15-12-2019 17:40:54

Bonjour,

Qu'as-tu essayé pour calculer ce développement ?

As-tu réfléchi à ce que signifie développer en série de Fourier ?

Roro.

#14 Re : Entraide (supérieur) » Suites » 11-12-2019 19:13:09

Zebulor a écrit :

Salut,
Et quand $n$ tend vers l'infini il me semble que cette somme partielle :
$$S(n)=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p}}{p} \quad \text{tend bien vers $0$}$$ car un équivalent de S(n) en l’infini semble Être  : $\frac {1}{n}$ expérimentalement... du moins jusque $n$=1000...

Tu as raison...
Il faut donc trouver autre chose que $\varepsilon_j=\frac{1}{j+1}$.

Zebulor a écrit :

Il se trouve que dans mon post 3, les suites :
$$u_n=\varepsilon_n=\frac {1}{n+1}\text{répondent pourtant au sujet pour K=2 ...}$$

oui, et alors ? la suite $(u_n)$ tend vers $0$ : ce n'est donc pas un contre exemple !

Roro.

#15 Re : Entraide (supérieur) » Suites » 10-12-2019 20:45:25

Bonsoir,

J'ai peut être loupé une étape ou alors je n'ai rien compris mais je ne vois pas comment une suite $(u_n)$ constante non nulle peut être un contre-exemple !

Si $u_n=u$ alors on n'a certainement pas
$$\forall n\in \mathbb N \qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{2}$$
car cela signifierait que
$$\forall n\in \mathbb N \qquad u \leq \varepsilon_n...$$

Roro.

P.S. Je ne trouve pas d'erreur dans ce que j'ai écrit.  D'ailleurs, en prenant $\varepsilon_n=\frac{1}{n+1}$, il "suffit" de montrer que
$$\sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^{j-n}}{j+1} \quad \text{ne tend pas vers $0$}$$

#16 Re : Entraide (supérieur) » Suites » 09-12-2019 20:52:15

Bonsoir,

J'imagine qu'il faut que, étant donné n'importe quel $K>1$, tu trouves une suite $(\varepsilon_n)$ positive tendant vers $0$, et une suite $(u_n)$ de réels entre $0$ et $1$ une tendant pas vers $0$ telles que
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{K}.$$

Tu peux essayer dans un premier temps de prendre $K=2$ (pour voir), puis de chercher des suites pour que l'inégalité soit une égalité :
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} = \frac{u_n+\varepsilon_n}{2}.$$

Tu auras alors
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_n =  \frac{u_0}{2^n} + \sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^j\, \varepsilon_j}{2^n}.$$

La question est donc la suivante : sais-tu trouver une suite $(\varepsilon_n)$ positive tendant vers $0$ telle que
$$\lim_{n\to +\infty} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^j\, \varepsilon_j}{2^n} \neq 0 \quad ?$$

Je ne sais pas si c'est la bonne piste...

Roro.

#17 Re : Entraide (supérieur) » Continuité d'une fonction » 08-12-2019 08:10:22

Bonjour,

mido9kj a écrit :

J'ai fait la 1er question x --> 2+x^2 est dérivable sur R  d'ou f est dérivable sur R
                                   x --> log x est dérivable sur R

Attention, la fonction $log$ n'est pas dérivable (ni définie) sur $\mathbb R$...

mido9kj a écrit :

Par suite f'(x) continue

Là aussi, ce n'est pas correct : tu peux juste en déduire que $f$ est dérivable !

Pour la deuxième question, si tu calcules la dérivée, tu verras qu'on te demande simplement de vérifier que $2x<2+x^2$.

mido9kj a écrit :

concernant la ques 3 je croit que c'est le théorème des valeur intermédiaire

Je pense qu'on doit plutôt se tourner vers un théorème de point fixe.

Roro.

P.S. Essaye de relire tes messages pour qu'il y ait moins de fautes d'orthographe car ça arrache les yeux :-p

#18 Re : Entraide (supérieur) » Gradient » 07-12-2019 20:18:18

Bonsoir,

Commence par calculer $\nabla u^J$, et ensuite tu fais le produit scalaire avec le vecteur $c$.
Ou est la difficulté ? Qu'est ce qui te gène ?

Roro.

#19 Re : Entraide (supérieur) » Dérivation partielle de fonction composée à plusieurs variables » 07-12-2019 18:03:07

Bonsoir,

La formule indiquée dans la démonstration est correcte.
Pour ce que tu écris avant, je ne comprend pas ce qu'est $\frac{df}{d(x,p(x))}$. En tout cas d'un point de vue mathématique c'est assez déroutant...
La seule formule qu'il faut utiliser est celle-ci, pour tout $i\in \{1,...,n\}$ :
$$\partial_i[f\circ g](x) = \sum_{j=1}^k \partial_i g_j(x) (\partial_jf)(g(x)),$$
où $f:\mathbb R^k \to \mathbb R$ et $g:\mathbb R^n \to \mathbb R^k$. J'ai noté $\partial_k$ la dérivée partielle par rapport à la $k$-ième variable - c'est-à-dire la $k$-ième composante de la variable, et $g_k$ les composantes de $g$.

Tu appliques cette formule avec $g(x)=(x,p(x))\in \mathbb R^n \times \mathbb R^{k-n}$...

Roro.

#20 Re : Entraide (supérieur) » produit D par C^\infty » 01-12-2019 16:12:14

Bonjour,

Ta réponse me parait correcte.

Que peut-on en conclure ??? Que l'ensemble $\mathcal D$ est stable par multiplication par des fonctions $\mathcal C^\infty$... que $\mathcal D$ est un $\mathcal C^\infty$-module ?
Ca dépend un peu de ce que tu veux faire ensuite !

Roro.

#21 Re : Entraide (collège-lycée) » DM de géometrie » 30-11-2019 16:07:07

Bonjour,

Ta réponse (4.5+4.5+4.5) semble correcte.

Pour le justifier, il faut montrer que les trois cotés du triangle sont de même longueur (4.5 cm).

Deux indications :
  1) Les points B et C sont sur le cercle de centre A, que peux-tu en déduire concernant les longueurs AB et AC ?
  2) La droite tracée qui passe par C semble être la médiatrice du segment [AB] (pourquoi ?), que peux-tu en déduire concernant les longueurs CB et CA ?

Roro.

#22 Re : Entraide (supérieur) » fonction test » 30-11-2019 14:25:46

Bonjour ccapucine,

A mon avis la question est de montrer qu'il existe $\psi \in \mathcal D(\mathbb{R})$ telle que...

Il doit y avoir une astuce mais je te propose une solution (certainement moins élégante, mais qui ne doit pas être loin).

$\bullet$ Pour $x\neq 0$, il n'y a pas de problème puisqu'il suffit de dire que
$$\varphi(x) = \varphi(0)\theta(x) + x \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\theta(x)}{x}.$$
En posant
$$\psi(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\theta(x)}{x},$$
c'est tout bon, en dehors de $0$.

$\bullet$ Le problème se pose donc de définir $\psi$ au voisinage de $0$.
Puisque $\theta(0)=1$, tu peux te placer sur un voisinage de $0$ sur lequel $\theta$ reste positif. Tu écris ensuite
$$\frac{\varphi(x)}{\theta(x)} = \frac{\varphi(0)}{\theta(0)} + \int_0^x \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(s) \, \mathrm ds.$$
A l'aide d'un changement de variable ($t=sx$), tu as
$$\int_0^x \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(s) \, \mathrm ds = x \int_0^1 \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(tx) \, \mathrm dt.$$
En posant
$$\psi(x) = \theta(x) \int_0^1 \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(tx) \, \mathrm dt,$$
la fonction $\psi$ convient sur ce voisinage de $0$.

$\bullet$ Il te reste simplement à dire que les deux expressions trouvées (pour $x\neq 0$, puis pour $x$ au voisinage de $0$) coïncide en dehors de $0$ (c'est facile...) pour conclure.

Roro.

#23 Re : Entraide (supérieur) » polynômes » 27-10-2019 13:56:41

Bonjour,

Je suis d'accord avec la réponse que tu proposes pour la question 1.

Concernant la question 2, es-tu certain d'avoir correctement écrit la question ? Parce que la suite "naturelle" de la question 1 serait de dire que $P$ et $Q$ divisent $T$.

Plus exactement, la question 1 implique qu'il existe un polynôme $R$ tel que $T=PQR$.

Roro.

#24 Re : Entraide (supérieur) » polynômes » 26-10-2019 14:05:54

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?
Par exemple pour la question 1, qu'est ce qui te pose problème ?
Si tu sais ce que signifie "être racine d'un polynôme" alors tu ne devrais pas avoir de difficulté !
Dis nous où tu bloques...

Roro.

#25 Re : Entraide (collège-lycée) » suite (exercice à faire non noté) » 09-10-2019 14:37:12

Bonjour,

Si j'ai bien noté, tu as une suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_n=n^2-2n+(-1)^n$.

Par exemple, en prenant $n=3$, tu as $u_3 = 3^2 - 2\times 3 + (-1)^3 = 2$.

En prenant $n=7$, tu as $u_7 = 7^2 - 2\times 7 + (-1)^7 = 34$...

Si on te demande la valeur de $u_{n+1}$, il suffit de remplacer $n$ par $n+1$ dans l'expression de $u_n$ : $ u_{n+1} = (n+1)^2 - 2(n+1) + (-1)^{n+1}$.

Ensuite, tu peux écrire le résultat de différentes façons, en remarquant par exemple que
$$ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 $$
ou bien que
$$(-1)^{n+1} = - (-1)^n$$

Roro.

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