Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir, une autre façon de voir les choses sans décomposition en facteurs premiers. Puisque le pgcd de a et b est 18 tu as a=18k et b= 18l avec k et l premiers entre eux . De ab= 972 tu en déduis en divisant par 18² que kl =3 et que le ppcm est 18kl=54.  De kl=3 tu on déduit que  (k,l)=(1,3) ou (3,1) sont les seules solutions et conviennent.
Si on te demande de calculer le ppcm c'est pour appliquer le fait qu'on a toujours  PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=a*b ce qui revient à ce qui est écrit plus haut car de PGCD(a,b)=18 et PPCM(a,b)=54 tu déduis que a et b sont multiple de 18 et diviseurs de 54. Il y a pas beaucoup de possibilités!

Bonjour Pour la question (a) Qu'elles sont les propriétés que tu connais du polynôme caractéristique?( pas sa définition mais ses propriétés)
(a) résolu  (b)  me parait immédiat  .

Bonjour, après un peu   de réflexion l' expression correspond obtenue correspond à la probabilité que Z=n où Z est une v.a.  qui suit une loi binomiale  de paramètres (2n, 1/2).
Peut on en trouver une interprétation directe?
Considérons la suite X₁..X_n Y₁...Y_n des tirages de Bernoulli du joueur 1 suivi de ceux de ceux du joueur 2 ( 1 si le tirage est Face 0 sinon).  Associons à un tel tirage  une suite de 2n  épreuves de Bernoulli  définie ainsi :
pour i=1 jusqu'à n si Z_i=X_i , pour i=n+1  jusqu'à 2n si Y_i=1-Y_i.
La suite  Z₁...Z_2n est une suite de 2n tirages de Bernoulli indépendants de probabilité 1/2. Baptisons Z  La somme des Z_i , i variant de 1 à 2n . La variable aléatoire Z suit donc une loi binomiale de paramètres ( 2n,1/2).
Si X est le nombre de Piles du premier joueur et Y celui du second  L’événement X=Y correspond à l’événement Z=n . CQFD

En fait la variable aléatoire Z vaut Z= X+n-Y.

Bonjour pas d' accord! Si chacun lance 2 fois la pièce il y a 16 tirages possibles equiprobables .On va les coder par un mot abcd  où ab est le tirage du premier joueur et cd du second. Il y a 6 tirages favorables seulement:
1 tirage avec 2 Faces par joueur FFFF
4 tirages avec 1 face par joueur FPFP,FPPF, PFFP,PFPF
1 tirage avec 0 face par jouer PPPP
Donc cette probablité est bien les 6/16 de la formule de Valoukanga.

Une preuve de cette formule. Imaginons n lancés pour chaque jouer. L'événement X=Y est la réunion   disjointe des événements X=Y=k pour k de 0 à n. Comme X et Y sont indépendantes on a P(X=Y=k)=P(X=k).P(Y=k).
X et Y suivent  une loi binomiale de parametre (n,1/2).
On a donc P(X=Y)= $\sum_{k=0}^{n}(\frac{\binom{n}{k}}{2^n})^2$ et on obtient la formule en utilisant l’identité  $\sum_{k=0}^{n}(\binom{n}{k})^2=\binom{2n}{n}$. On peut par exemple montrer cette identité en comptant de 2 façons différentes le nombre de parties  à n éléménts de l ensemble {1,2,...,2n}. C est  d' une part $ \binom{2n}{n}$. D'autre part on peut écrire que ce sont les les parties où on a k elements dans {1,..,n} et n-k dans {n+1,..,2n} pour k variant de 0 à n. ce qui fait bien la somme indiqué puisque $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$.

Bonjour, C'est Mathematica qui a fait le gros du travail et un peu de bricolage . Notons $A$ ta matrice
Jusqu'à $n=8$ il fait le calcul tout seul en calcul formel.
Pour $n=16$  je lui ai demandé une approximation numérique $B$ de la matrice $A$ , je lui ai demandé les valeurs propres de $B$ qui sont très proches ( 10^-16 près) de $\sqrt{n}$, $i\sqrt{n}$,$-i\sqrt{n}$ et $-\sqrt{n}$. J'ai donc supposé que les v.p. de $A$ étaient ces valeurs et c'était alors facile de trouver une base de vecteurs propres de A  .
Ce qui facilite la recherche des vecteurs propres c'est que pour tout $n$ on a $A.(1,1....1)^t=(n,0,0....0)^t $ (par somme d une série géométrique sauf pour la première composante) et $A.(1,0....0)^t=(1,1,...,1)^t$.
La conjecture m'a parue  alors évidente.
Pour n=32 même chose mais j'ai cherché numériquement les vecteurs propres  car je ne les trouvais pas à la main.

j ai formulé volontairement "parmi ces 4 valeurs" , pour inclure le cas n=4. Pour n=4 la multiplicité serait n/4-1=1-1=0 donc -2i n'est pas valeur propre.

j ai continué plus loin, là avec Mathematica
Pour n=8 les valeurs propres sont -2 Sqrt[2],  -2Sqrt[2]i, 2 Sqrt[2]i et 2 Sqrt[2] avec les multiplicités respectives 2,1,2 et 3.
Pour n= 16 les valeurs propres sont -4,-4i, 4i,4 avec les multiplicités respectives 4,3,4 et 5
On peut donc raisonnablement conjecturer que pour n quelconque les seuls valeur propres sont parmi -Sqrt[n], - Sqrt[n]i, Sqrt[n]i et Sqrt[n]
avec les multiplicités respectives n/4,n/4-1,n/4, et n/4+1.
Le cas n=4 rentrant aussi dans ce cas .
Connaissant le polynôme caractéristique probable on pourrait peut etre vérifier si il est annulateur?

Bonsoir,
Il y a une autre ambiguïté. Comment interpréter je cite 'Il n'est permis de retirer du seau que deux balles'. On peut par exemple l'interpréter comme on peut tirer 0,1 ou 2 boules. Dans ce cas si on considère que les boules ne peuvent être différenciées que par leur couleur il y a bijection entre les tirages et les mots d'au plus 2 lettres sur l alphabet {R,V,B} ce qui nous donne 3^2+3^1+1= 13 tirages possibles. Si on interprète par tirer exactement 2 boules on a donc un mot de longueur exactement 2  ce qui nous donne effectivement 3^2=9 tirages possibles.
A vrai dire c'est pour moi l'interprétation du texte qui me parait la plus naturelle.