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#1 Re : Entraide (supérieur) » Equation dans Z/pZ » 02-03-2015 09:08:52

Bonjour,

J'avais rédigé un texte pour dire  pourquoi la réponse du a) était bien [tex]\frac{p+1}{2}[/tex]et non [tex]\frac{p-1}{2}[/tex]. Et j'y avais ajouté un résultat au d) obtenu sur plusieurs exemples numériques sans le démontrer, ce que j'aurais dû préciser.

La démonstration de Roro est fantastique et j'ai mis quelque temps pour l'assimiler.

#2 Re : Entraide (supérieur) » Equation dans Z/pZ » 01-03-2015 21:47:59

Bonsoir,

D'après ce que j'ai compris de l'énoncé

a) Montrer que le nombre de carrés de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est [tex]\frac{p+1}{2}[/tex].

C'est bien [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] dont il s'agit et non de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*[/tex]

d) Déterminer le cardinal de l'ensemble [tex]S[/tex] des [tex](x,y)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2[/tex] tels que [tex]x^2+y^2=1[/tex]

[tex]Le\ cardinal\ de\ S\ est\ (p-1)\ si\ p\ =\ 1(4),\ (p+1)\ sinon.[/tex]

#3 Re : Café mathématique » Après la calculatrice, les logiciels de calculs formels. » 25-02-2015 19:10:27

Bonsoir,

@freddy : il me semble que wolfram propose de détailler un "pas à pas" de chaque solution qu'il donne, mais ce n'est plus gratuit avec
Wolfram Pro...

#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Multiplication chinoise » 25-02-2015 12:03:31

Bonjour,

Ça marche comme on le fait d'habitude mais sans apprendre les tables de multiplication : on compte les croisements dans chaque colonne puis on propage les retenues...

#5 Re : Entraide (supérieur) » Inégrale double sur un pavé » 25-02-2015 11:38:37

Bonjour,

Je pense que ce sont les intégrations successives par rapport à x en posant a=y²+z², puis par rapport à y en posant b=x²+z², qui font apparaitre les 2 termes de l'intégrale, et pas votre dernière décomposition avant intégration.
A vérifier, je n'ai pas regardé de façon précise et détaillée...
l'intégrale indéfinie est en tout cas symétrique en x et y...

#6 Re : Café mathématique » Après la calculatrice, les logiciels de calculs formels. » 25-02-2015 00:28:23

Bonsoir,

Le calcul formel implique de définir des algorithmes opérant de façon exacte sur des représentations d'objets.
Exemple : la multiplication de deux entiers que chacun sait faire en notation décimale
Et que la calculatrice ou l'ordinateur font bien plus rapidement…!

Oui, mais si ce calcul se faisait dans l'ordinateur "comme chacun sait le faire", ce serait manquer de rapidité : Il faut faire exécuter dans l'ordinateur un algorithme choisi pour être plus rapide, par exemple voir une introduction à l'Algorithme de Karatsuba.

Un point de vue différent de celui que les élèves peuvent avoir en utilisant le CAS de Geogebra pourrait être cette "sensibilisation" au bon choix des algorithmes utilisés en calcul formel.

Ce n'est qu'une idée...

#7 Re : Entraide (supérieur) » Petites variations » 21-02-2015 16:34:49

Bonjour,

par [tex]dx^2[/tex] vous voulez bien écrire [tex]d(x^2)[/tex] qui vaut [tex]2xdx[/tex] ?

et par [tex]d \sqrt{x^2+l^2}[/tex] c'est [tex]d( \sqrt{x^2+l^2})=\frac{2xdx}{2 \sqrt{x^2+l^2}}[/tex] ?

#8 Re : Entraide (collège-lycée) » fonctions » 20-02-2015 09:59:16

Bonjour,

D'accord pour aider si vous faites un peu d'effort pour dire ce qui vous bloque :
La dérivée en x=15 ? la dérivée en un point, c'est la pente de la tangente en ce point.
et la pente d'une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) c'est ...eh bien 0 (zéro) !

Alors, qu'est-ce qui vous bloque : dériver, intégrer (trouver une primitive) ?

#9 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite géométrique et arithmétique » 19-02-2015 16:47:59

Bonjour,

@ freddy : C'est avec plaisir que l'on vous retrouve en forme pour traiter un problème entièrement.   :-))

#10 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite géométrique et arithmétique » 18-02-2015 20:42:18

Bonsoir,

question 2 : on peut estimer que la limite doit être 2000
question 3 : [tex]V_{n+1}= U_{n+1}-2000[/tex] et [tex]U_{n+1}=0,5U_n+1000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=(0,5U_n+1000)-2000=(0,5(V_n+2000)+1000)-2000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=0,5V_n[/tex] Voila la progression géométrique

#11 Re : Programmation » [AlgoBox] Retour d'expérience » 17-02-2015 11:59:00

Bonjour,

On retrouve cette Intéressante discussion :

yoshi a écrit :

De voir....

???

yoshi a écrit :

De voir sauter sur Python pour résoudre les énigmes a réussi à me dissuader (et me dégoûter) de participer ...

Comme si l'écriture d'un algorithme empêchait de réfléchir aux solutions formelles,
Comme si il y avait encore des travaux de recherche qui se fassent sans ordinateur,
Comme si l’ordinateur ne devait pas mettre sur la voie ou confirmer une démonstration,

ou peut-être encore parce qu'il ne faut pas trouver trop vite ?

Non, IL FAUT apprendre à utiliser efficacement les ordinateurs et à rechercher les connaissances disponibles sur les réseaux !

#12 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Impôt » 15-02-2015 14:50:28

Bonjour,

jpp a écrit :

salut.
[tex][/tex]
@totomm : oui , mais il me semble que pierre tenait à payer dans tous les cas avec au moins une pièce de chaque sorte.

C'est vrai, j'ai donc faux pour n'en avoir pas tenu compte...et cela aurait été pareil s'il avait fallu que les pièces soient de même couleur !

:-))

#13 Re : Entraide (supérieur) » calcul intégrale » 14-02-2015 22:18:35

Bonsoir,

Bienvenue à vous, le_mot_de_passe
Ici vous avez le droit de dire bonjour ou bonsoir ou de saluer...

Ce n'est pas un défi, ce sont des exercices assez faciles destinés à vous familiariser avec les intégrations simples.
Bien sûr, il ne faut pas être quelque peu paresseux !!
On ne fera pas le travail à votre place, mais vous pouvez dire ce que vous ne comprenez pas

A+ éventuellement

#14 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Impôt » 14-02-2015 19:26:32

Bonjour,

je maintiens :

Essai

Si s est le 20ème de la somme cherchée en centimes,
on montre que le nombre de possibilités [tex]P_{2s}[/tex] de faire la somme cherchée est : [tex]P_{2s}=4+(s-1)(s+3)[/tex]
Résolvant 4+(s-1)(s+3)=10000 on trouve s=99
la somme cherchée est alors 19,80 euros

en développant comme jpp je trouve pour n=5 soit 5 x 20 = 100 centimes :
5x20  0x10  0x5

4x20  2x10  0x5
4x20  1x10  2x5
4x20  0x10  4x5

3x20  4x10  0x5
3x20  3x10  2x5
3x20  2x10  4x5
3x20  1x10  6x5
3x20  0x10  8x5

2x20  6x10  0x5
2x20  5x10  2x5
2x20  4x10  4x5
2x20  3x10  6x5
2x20  2x10  8x5
2x20  1x10  10x5
2x20  0x10  12x5

1x20  8x10  0x5
1x20  7x10  2x5
1x20  6x10  4x5
1x20  5x10  6x5
1x20  4x10  8x5
1x20  3x10  10x5
1x20  2x10  12x5
1x20  1x10  14x5
1x20  0x10  16x5

0x20  10x10 0x5
0x20  9x10 2x5
0x20  8x10 4x5
0x20  7x10 6x5
0x20  6x10 8x5
0x20  5x10 10x5
0x20  4x10 12x5
0x20  3x10 14x5
0x20  2x10 16x5
0x20  1x10 18x5
0x20  0x10 20x5
soit 1+3+5+7+9+11=36 possibilités donc pour 5 x 20 ou n x 20 centimes on a [tex](n+1)^2[/tex] possibilités

pour 4 x 20 centimes il y a 25 possibilités, soit toujours [tex](n+1)^2[/tex]


#15 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » je vous ai apporté des bonbons... » 07-02-2015 11:24:01

Bonjour,

Le raisonnement de jpp est bon, je préfère cependant la démarche de freddy.
J'ai listé, (force brute). Les solutions pour un nombre de paquets différent de 62 ou 63, et un raisonnement général ne semble pas très évident à démontrer !!
Si le nombre p de paquets est fixé, partir de la partie entière de [tex]n=\frac{240p}{63}[/tex] puis ajouter 0, 1 ou 2 fonctionne bien.
Est-ce la seule méthode générale ?

#16 Re : Entraide (collège-lycée) » calcul sans utiliser la calculatrice ( fractions avec racine carrée) » 07-02-2015 11:01:50

Bonjour,

Votre piste, yoshi, du post #2, était parfaite, sans commentaires superflus...
Et on ose dire à Romain16 que l'on voyait [tex]N=9[/tex] au premier regard.

Si on aime bien qu'une solution soit à la fin correctement rédigée, c'est qu'elle aidera d'autres visiteurs...

#17 Re : Entraide (collège-lycée) » calcul sans utiliser la calculatrice ( fractions avec racine carrée) » 07-02-2015 09:26:03

Bonjour,

Peut-être Romain16 n'a pas compris ce qu'était "la quantité conjuguée du dénominateur" ?

ou peut-être ne se rend-il pas compte de l'importance de dire que l'aide a été effectivement efficace ?

#18 Re : Entraide (collège-lycée) » quartiles (3ème) » 06-02-2015 12:34:33

Bonjour freddy,

je m'associe aux encouragements de yoshi.

#19 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire » 06-02-2015 12:25:39

Bonjour,

@ sotsirave : pourquoi ne pas dire compliqué quand on peut dire simple ...?   :-))
en l'occurrence je ne vois pas ce qu'apporte la notion de barycentre....,
Vous faites x+y, j'avais choisi w=x+y+t  (vos notations) et fait simplement w-t,
ce qui n'est pas moins général et dans la ligne de IOANNIS VERNERI (Johannes Werner 1468-1522) que j'ai juste découvert avant-hier.

Avec les coordonnées barycentriques :
vous transformez [tex]\frac{EA}{AB}=\frac{1}{3}\ en\ k_1=\frac{1}{2} \text{et D milieu de AC en }k_2=1[/tex]
et vous pouvez alors effectivement calculer d'après votre formule générale :
[tex]x+y=\frac{S.k_1.k_2.(2+k_1+k_2)}{(1+k_1) (1+k_2) (1+k_1+k_2)}=240.\frac{\frac{1}{2}.1.(2+\frac{1}{2}+1)}{(1+\frac{1}{2})(1+1)(1+\frac{1}{2}+1)}=240\frac{\frac{1}{2}.\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}.2.\frac{5}{2}}=240\frac{7}{30}=56[/tex]

A chacun de choisir sa méthode....  :-))

#20 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire » 05-02-2015 14:19:22

Bonjour,

@ sotsirave : j'ai bien mérité cette provocation, mais ma dernière version latine a plus de 60 ans...
Peut-être quelqu'un qui aurait gardé des relations avec les lettrés collège-lycée pourra faire mieux.

Traduction libre et incomplète :
Soient 2 segments AB et AC ayant un point commun A ; et deux lignes  BE et CD qui se coupent en un point F, Le point D étant sur AB et le point  E sur AC. Je dis que le ratio de BA à AD est lié aux deux autres ratio BE à EF et FC à CD.

D'après le XXXI des éléments d'Euclide la ligne DG parallèle à BE, qui coupe AC en G, et laquelle ligne DG est aussi parallèle à BF, d'après le XXIXème les angles AEB et AGD sont égaux, ainsi que les angles ADG et ABE ; l'angle BAE est commun ; donc les triangles ABE et ADG aequiangula (semblables) ;
donc par le 64ème des elements, le ratio BA à AD est le même que BE à GD...

donc le ration BA à AD dépend des deux ratio BE à EF et EF à DG. Mais le ratio EF à DG, par le même 64ème élément  est le même que FC à CD, donc le ratio BA à AD dépend du ratio BE à EF et du ration FC à CD.

Je comprends vaguement le reste mais n'ose le traduire....

#21 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire » 04-02-2015 12:02:33

Bonjour,

Est-ce un hasard si l'exercice " Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire " donné par sotsirave
est la proposition 4 du livre second (en latin) de IOANNIS VERNERI (né en 1468)
dont l'ouvrage vient d'être évoqué dans la discussion " Café mathématique » un autre erreur " par orielpack ?
Cliquer pour voir

#22 Re : Café mathématique » un autre erreur » 04-02-2015 11:57:23

Bonjour,

Est-ce un hasard si l'exercice " Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire " donné par sotsirave
est la proposition 4 du livre second (en latin) de IOANNIS VERNERI ?
Cliquer pour voir

#23 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire » 03-02-2015 11:52:37

Bonjour,

Solution pour les jeunes collégiens.
quel excellent exercice sur la comparaison des aires : mêmes longueurs de bases et de hauteurs
et sur le théorème de Thalès

calculs

L'aire de AEFD est la différence entre l'aire des triangles AEC et FDC

L'aire du triangle AEC vaut 1/3 de celle du triangle ABC soit 240/3 = 80

La parallèle issue de E à [BD] coupe [AC] en G, alors GD=2/3 de AD soit 1/3 de AC
Ainsi GC= GD+DC vaut 1/3+1/2 de AC soit  5/6 de AC
Donc [tex]\frac{DC}{GC}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{5}=\frac{FD}{EG}[/tex]
or EG vaut 1/3 de BD
d'où [tex]\frac{FD}{BD}= \frac{FD}{EG} \times \frac{EG}{BD}=\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}[/tex]
L'aire du triangle FDC vaut 1/5 de celle du triangle  BDC soit 1/10 de 240 =24

Aini l'aire AEFD = 80 - 24 = 56

Édit : le dernier FD (erroné de façon évidente) a été corrigé en BD...

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