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#1 Re : Entraide (supérieur) » L'image d'un compact par une application continue est compacte » 17-10-2021 20:30:44

Bonjour !

Je viens me permettre de répondre à la question : il y a une distinction (usuelle à mon sens ?) qui est faite dans la littérature. La définition de compacité est la suivante : un espace est compact s'il est quasi-compact et séparé, où la quasi-compacité est la propriété de Borel-Lebesgue (avec les recouvrements finis d'ouverts).

Évidemment, dans le cas métrique, quasi-compact = compact, d'où parfois la distinction effacée...

#2 Re : Entraide (supérieur) » Une base et une base canonique. » 03-03-2021 10:54:35

Bonjour !

En fait, la notion de base canonique n'a rien de nouveau par rapport à celle d'une base. Dans un espace vectoriel bien connu ($\mathbb R^n$, $\mathbb R_n[X]$ par exemple), on a une base "préférée", la plus simple en général, qu'on appelle la base canonique. Dans $\mathbb R^n$, c'est la base constituée des vecteurs unitaires, ...

Est-ce plus clair ?

#3 Re : Entraide (supérieur) » Fonction constante » 01-02-2021 13:54:46

Bonjour !

Oui, comme toute fonction constante. En effet, elle vérifie la propriété de croissance : $\forall (a,b) \in \mathbb R^2$, $a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)$, de même pour la décroissance. En revanche, une fonction constante n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.

#4 Re : Entraide (supérieur) » Récurrence » 30-01-2021 16:22:21

Bonjour !

Oui tu peux tout à fait : tu vérifie $P(0)$ et tu montres que, pour tout $n \in \mathbb Z_-$, $P(n) \Rightarrow P(n-1)$.

#5 Re : Entraide (supérieur) » Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité » 26-01-2021 21:32:07

Tu peux montrer que si $f : I \longrightarrow \mathbb R$ est continue et monotone strictement alors $f$ est injective : c'est le point de départ de ta question.

Ce que j'ai rajouté dans mon premier message, je l'explique mieux maintenant. Pour toute application $g : A \longrightarrow B$, $g$ est automatiquement bijective sur son image $g(A)$ qui est défini comme l'ensemble des points de $B$ tels qui ont un antécédent par $f$. C'est évident sur la définition.

Ainsi, si on revient à ta question, on a alors que $f : I \longrightarrow f(I)$ est bijective, mais $f : I \longrightarrow \mathbb R$ n'est pas nécessairement bijective puisque l'on n'a pas nécessairement $f(I) = \mathbb R$.

C'est plus clair ?

#6 Re : Entraide (supérieur) » Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité » 26-01-2021 19:32:57

Je te rappelle les définitions formelles, je les explique juste après : Soit $f : A \longrightarrow B$ une application.

- $f$ est dite injective si : pour tout $(x,y) \in A^2$, $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Ainsi : $f$ est injective si et seulement si toute image a au plus un antécédent par $f$.
- $f$ est dite surjective si : pour tout $y \in B$, il existe $x \in A$ tel que $f(x) = y$. Ainsi : $f$ est surjective si et seulement si tout élément de $B$ a un antécédent par $f$.
- $f$ est dite bijective si elle est injective et surjective : tout élément de $B$ a exactement un antécédent.

#7 Re : Entraide (supérieur) » Continuité, monotonie,injectivité,bijectivité » 26-01-2021 17:24:07

Bonjour !

Injective oui, bijective ça dépend : elle est bijective sur $f(I)$ évidemment, mais pas sur $\mathbb R$ tout entier. Il te suffit de regarder le cas de la fonction exponentielle.

#8 Re : Entraide (supérieur) » Polynôme annulateur et trigonalisation » 16-01-2021 22:02:40

Bonsoir,

On ne voit pas ta photo. Tu peux nous la mettre correctement s'il te plaît ?

#9 Re : Entraide (supérieur) » les polynômes hyperbolique » 16-01-2021 22:01:29

Re,

Merci yoshi et magnus de l'info sur les polynômes hyperboliques, j'aurai appris un truc en plus aujourd'hui ;)

#10 Re : Entraide (supérieur) » les polynômes hyperbolique » 16-01-2021 19:37:43

Bonjour,

Si $P+Q$ a un coefficient nul devant $x^2$, c'est-à-dire qu'il s'écrit $P+Q = ax+b$, alors ce n'est pas un polynôme "hyperbolique" (jamais entendu ce terme mais soit). Essaie donc d'annuler le coefficient en $x^2$ de ta somme en choisissant astucieusement tes polynômes $P$ et $Q$.

#11 Re : Entraide (supérieur) » Integrale » 14-01-2021 17:35:09

Bonjour !

Non absolument pas, tu peux trouver plein de contre-exemples : par exemple, la fonction $f$ qui vaut $1000$ en $\frac R2$ et $x$ partout ailleurs satisfait ton égalité.

#12 Re : Entraide (supérieur) » fonction réciproque d'une fonction à plusieurs variables. » 09-01-2021 16:54:54

Bonjour !

Ici ta fonction $f$ est de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$. S'il y a une fonction réciproque, alors $f^{-1}$ serait de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ d'où ton problème d'égalité. Un autre problème est que ta fonction n'admet tout simplement pas de réciproque qu'elle n'est pas bijective.

#13 Re : Entraide (supérieur) » Groupes isomorphes » 07-01-2021 09:01:29

Re,

- Pour ta première question oui, c'est une petite erreur de ma part.
- Ta méthode pour la question 4 m'a l'air ok comme ça, vu que l'intersection entre les deux est triviale. En fait, ça revient quasiment à utiliser mon petit résultat.

#14 Re : Entraide (supérieur) » Groupes isomorphes » 06-01-2021 23:10:08

En TD, sans indication, ça m'a l'air un peu insurmontable. Il y a peut être une méthode que je ne connais pas...

#15 Re : Entraide (supérieur) » Groupes isomorphes » 06-01-2021 19:40:03

Re,

À vrai dire, la démonstration de cet isomorphisme est assez technique et il faut l'avoir vu une fois. Je vais donc te donner la structure de la preuve et te laisser faire les détails (mais tu peux revenir vers nous pour poser tes questions évidemment après avoir essayé).

1) On pose $\Phi : x \mod 2^k \in (\mathbb Z/2^k \mathbb Z)^\times \mapsto x \mod 4 \in (\mathbb Z/4\mathbb Z)^\times$ et on pose $N = \ker \Phi$. Vérifier $\Phi$ est un morphisme de groupe surjectif. Ensuite, calculer le cardinal de $N$.

2) On prouve un petit lemme dont tu verras l'utilité après : si $n$ est impair positif, alors $5^{2^n} = 1+\lambda 2^{n+2}$ avec $\lambda$ impair.

3) Montrer que $5 \mod 2^r$ est d'ordre $2^{r-2}$ dans $N$. En déduire que $N \simeq (\mathbb Z/2^{k-2}\mathbb Z)^\times$.

4) Montrer que $N \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ est isomorphe à $(\mathbb Z/2^k \mathbb Z)^\times$. Tu peux pour cela prouver le résultat suivant :

Soient $P$ et $Q$ deux sous-groupes distingués d'un groupe $G$ fini tels que $P \cap Q = \{1\}$ et $\#P \times \#Q = \#G$. L'application $\varphi : (x,y) \in P \times Q \mapsto xy \in G$ est un isomorphisme de groupes.


Voilà, c'est vraiment pas facile ! Je suis curieux de savoir dans quel contexte cette question t'es posée (exercice, démo de cours, ...).

#16 Re : Entraide (supérieur) » Groupes isomorphes » 06-01-2021 14:57:59

Bonjour !

Pour montrer que deux groupes sont isomorphes, il faut exhiber un isomorphisme ! S'il ne te l'ai pas donné dans l'énoncé, c'est à toi de le trouver. Dans ton cas, quels sont tes deux groupes ?

#17 Re : Entraide (supérieur) » Questions sur lien entre matrice Diagonalisable et inversibilité » 03-01-2021 21:15:33

Bonsoir !

Voici quelques réponses :

1) La réponse est non : si $v$ est un vecteur propre, alors tous ses multiples le sont aussi (il suffit de l'écrire pour s'en rendre compte).

2) Je ne suis pas très sûr de comprendre ta question. En revanche, pour ta tentative de réponse, il y a un gros problème : pourquoi être inversible impliquerait d'être semblable à l'identité ? Regarde ton écriture $A = PI_nP^{-1}$. On peut la simplifier en $A = PP^{-1}I_n  =I_n$. Ainsi, seule l'identité est semblable à l'identité.

3) Oui elle est diagonalisable grâce à la définition : ta matrice admet une base de vecteurs propres donc elle est diagonalisable.

4) Diagonalisable oui, c'est la définition de base ! Être diagonalisable c'est par définition admettre une base formée de vecteurs propres, ce qui revient à dire que c'est une famille libre formée de $n$ vecteurs (simple définition d'une base). Inversible non, il suffit qu'un vecteur propre soit associé à la valeur propre $0$ pour que ta matrice est un noyau non nul donc pour qu'elle ne soit pas inversible.

5) Une matrice diagonalisable n'est pas forcément inversible : si elle admet 0 comme valeur propre, elle a un noyau non nul donc n'est pas inversible. Pour la réciproque, elle est fausse. Il te suffit de prendre une matrice non-diagonalisable (il y a des tonnes d'exemples, en particulier sur $\mathbb R$) qui n'est pas inversible. Deux exemples : la matrice nulle, exemple bête mais il faut y penser, ou alors $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ (cette matrice a pour polynôme caractéristique $(X^2+1)$ donc n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$).

Et grillé par Fred, dommage (ça te fera deux points de vue, c'est cadeau !)...

#18 Re : Entraide (supérieur) » Diagonalisation et similarité » 06-12-2020 19:13:14

Bonsoir !

C'est exactement ça : une matrice est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale (ce qui explique le nom diagonalisable).

#19 Re : Entraide (supérieur) » convergence d'une intégrale » 29-11-2020 17:07:27

C'est ça Super Yoshi, bien joué. N'oublie pas avant de conclure de dire que l'équivalent de ta fonction est positif !

#20 Re : Entraide (supérieur) » convergence d'une intégrale » 29-11-2020 13:08:31

Re,

Alors pas vraiment. Ici, tu as juste donné un équivalent de arctan t. Il faut donc rajouter le dénominateur : ta fonction est équivalente à $\frac{\frac\pi2}{t \ln^2 t}$. D'accord ? Et est-ce-que tu vois maintenant comment utiliser les intégrales de Bertrand ?

#21 Re : Entraide (supérieur) » convergence d'une intégrale » 29-11-2020 00:56:04

Bien, il va falloir utiliser cela. À quoi est équivalente ta fonction en + l'infini ?

#22 Re : Entraide (supérieur) » question sur définition d'une base » 28-11-2020 23:01:35

Bonsoir !

Dans la pratique, quand on souhaite par exemple montrer que $\mathcal B$ est une base (disons de $\mathbb R^n$ ici), on montre qu'elle libre (car c'est plus simple que de montrer qu'elle est génératrice) et on utilise un argument de dimension. Cela vient du théorème suivant :

Si la famille $\mathcal B$ comporte $n = \dim \mathbb R^n$ vecteurs, alors si elle est libre, c'est une base et si elle est génératrice, c'est une base (i.e. libre est équivalent à génératrice si la famille comporte $n$ éléments).

En pratique, pour faire la différence : si tu penses que $\mathcal B$ ne génère pas tout ton espace, il suffit de trouver un vecteur de ton espace qui ne s'exprime pas comme combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal B$. Si c'est une base, il te suffit donc de montrer qu'elle libre ou génératrice et d'utiliser l'argument de dimension ci-dessous, ou de montrer qu'elle est libre et génératrice, mais c'est plus long. Est-ce-que c'est plus clair ?

#23 Re : Entraide (supérieur) » convergence d'une intégrale » 28-11-2020 22:56:48

Bonsoir,

Connais-tu les intégrales de Bertrand ? Et par ailleurs, un truc à appliquer souvent est que, moralement, on s'en fiche de arctan en + l'infini car arctan est bornée par pi/2.

#24 Re : Entraide (collège-lycée) » Exercice sur les vecteurs » 28-11-2020 19:16:49

Re,

@MisterAssm bonsoir ! Ce n'est pas très malin de donner la réponse comme ça surtout quand celui qui a posé la question ne s'est pas pointé depuis une semaine. En plus, mettre des équivalents au lieu d'égalités, c'est vraiment un gros contre-sens. Quand on veut dire "MR + 2MS - 3MT est égal à TR + 2TS et inversement ( TR + 2TS est égal à MR + 2MS - 3MT )", on met étonnamment un symbole égal.

#25 Re : Entraide (supérieur) » Exercice 2 Séries entières » 25-11-2020 16:43:08

Bonjour !

Pour une série entière, son rayon de convergence est l'endroit où le terme général est borné, et le fait d'être borné se transmet par équivalence.

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