Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bonjour,
c'est la propriété de distributivité du pgcd par rapport au ppcm ;
on peut commencer par prouver que :  $A \wedge (P_1\vee P_2)=(A \wedge P_1) \vee (A \wedge P_2)$.

Bonjour,
Dans l'énoncé, ça doit être l'ensemble des points M du plan tels que le triangle AMB
soit rectangle en M.
C'est, je crois, un théorème appelé par certains "de Thalès", qui n'est évidemment
pas celui que l'on connait habituellement.

bonsoir, voici un essai d'équation d'un triangle :
Soit le triangle dont les sommets sont les points $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ et $P_3(x_3,y_3)$, où l'on suppose
que  $x_1<x_2<x_3$ . L'équation de la droite  $D_{12}$ passant par $P_1$ et $P_2$ s'obtient par :  $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , et
s'écrit :  $(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0$ , que l'on peut noter  $f_{12}(x,y)=0$ .
On obtient de même pour la droite $D_{13}$ passant par $P_1 $ et $P_3$  que l'on note  $f_{13}(x,y)=0$  d'une part ,
et la droite $D_{23}$ passant par $P_2$ et $P_3$ que l'on note  $f_{23}(x,y)=0$  d'autre part .
On sait que l'équation de deux droites est le "produit" des équations de chaque droite ; ici par exemple ,
l'équation :  $f_{12}(x,y).f_{13}(x,y)=0$  est l'équation de l'ensemble des deux droites $D_{12}$ et $D_{13}$ ;  un réel
d'abscisse x possède deux images  $y_{12}$ et $y_{13}$  telles que le point  $(x,y_{12})$ se trouve sur $D_{12}$,  et le point
$(x,y_{13})$  se trouve sur $D_{13}$ .
Maintenant , afin de se limiter à des (doubles) segments de droites , on peut utiliser les fonctions indica-
trices sur des intervalles : on définit l'application  $1\!\mathrm I _{[a,b]}$  comme valant 1 sur [a,b] et valant 0 sinon .
Alors , l'équation :       $\large {1\!\mathrm I_{[x_1,x_2]}.f_{12}(x,y).f_{13}(x,y)\,+\,1\!\mathrm I_{[x_2,x_3]}.f_{13}(x,y).f_{23}(x,y)}\,\,\,=0$  ,
constitue une équation du triangle $P_1P_2P_3$ :  pour tout $x<x_1$ , $y=0$ ;  pour $x\in [x_1,x_2]$ , on a les
coordonnées des points du segment $[P_1,P_2]$ et une partie du segment $[P_1,P_3]$ ; pour $x\in [x_2,x_3]$ , on a
les coordonnées des points du reste du segment $[P_1,P_3]$ et de ceux du segment $[P_2,P_3]$ ; enfin , pour
$x>x_3$ , $y=0$ .
Remarque : on peut représenter la fonction indicatrice de ]a,b[ par la formule :
         $1\!\mathrm I_{]a,b[}=\frac{1}{4}.(1+\frac{x-a}{|x-a|}).(1-\frac{x-b}{|x-b|})$ .

bonsoir,
si  $x\in \bar A \cap B$ , c'est que  $x\in \bar A$ et que  $x\in B$ , par définition de l'intersection ;
or la propriété  $x\in \bar A$ ( et ceci pour tout x de $\bar A\cap B$) , signifie que  $\bar A\cap B\subset\ \bar A$ .
On montre, de la même manière, que  $\bar A\cap B\subset B$ .

bonsoir,
c'est la définition même de la différence symétrique : si  $x\in (A\cap C)\vartriangle(B\cap C)$ ,
alors   $x\in A\cap C\,\,\,\mathbf {ou}\,\,\,x\in B\cap C$ ,  mais  $x\notin (A\cap C)\cap (B\cap C)$ ;
donc si  $x\in A\cap C$ , alors  $x\notin B\cap C$ .

bonsoir,
à Shadows Asgard, pour son post #9, concernant l'annotation en bleu : "comment passe-t-on de là à là ?"
Comme je l'ai mentionné dans mon post#3, la correction "saute" les calculs entre l'avant-dernière ligne et
la dernière, car ce sont les mêmes calculs, mais en sens inverse, que ceux qui viennent d'être faits, en
partant de la première ligne, pour arriver à l'avant-avant-dernière ligne; c'est la raison pour laquelle il y
a eu une permutation des éléments de l'avant-avant-dernière ligne, pour obtenir l'avant-dernière ligne;
cette disposition visualise le remplacement de la lettre A (respectivement B , C), par la lettre B (respec-
tivement C , A); il ne reste plus qu'à faire la même chose à la 1ère ligne pour obtenir la dernière .

bonsoir,
à propos de l'annotation en vert : "comment passe-t-on de là à là ?" :
ces deux lignes sont exactement les mêmes !
On s'est servi des propriétés de commutativité de l'intersection (comme cela est indiqué
en commentaire sur la droite), de commutativité et d'associativité de la réunion .
Ainsi : $A\cap\overline{B}\cap\overline{C}$ (en 1ère place) devient : $\overline{B}\cap\overline{C}\cap A$ (en 3e place) ,
puis : $\overline{A}\cap B\cap\overline{C}$ (en 2e place) devient : $B\cap\overline{C}\cap\overline{A}$ (en 1ère place), etc .
L'intérêt de ces permutations est de disposer les ensembles visuellement de sorte qu'au lieu
d'avoir à "remonter" tous les calculs qui viennent d'être faits, mais en sens inverse, on peut
les "sauter", et écrire directement : $(B\vartriangle C)\vartriangle A$ , en ayant permuté les ensembles de façon
correspondante .

bonsoir,
c'est O.K. , les premières valeurs de $\mathrm U_n$ sont bonnes .

Bonsoir,
la preuve de l'inclusion semble juste, mais il y a plus direct :
$B(x,r) \subset B'(x,r)$ , car si  d(x,y)<r  alors  d(x,y)$\leqslant$r , donc:
$\overline{B(x,r)}\subset \overline{B'(x,r)}=B'(x,r)$ qui est un fermé ;
la propriété :  $X\subset Y \Rightarrow \overline{X} \subset \overline{Y}$, qui est en principe du cours,
se démontre ainsi:  si $x\in \overline{X}$, alors,  $\forall \epsilon >0,\, B(x,\epsilon) \cap X \neq \emptyset$ ,
donc $B(x,\epsilon) \cap Y \neq \emptyset$ , puisque $X \subset Y$ , d'où $x \in \overline{Y}$ .
Pour l'inclusion réciproque, voici un contre-exemple (tiré d'un vieux cours) :
dans $\mathbb{N}$, muni de la distance induite  d(x,y):=|x-y|, on a:  $B(1,1)=\{1\}$,
d'où $\overline{B(1,1)}=\{1\}$, car un singleton est fermé, mais $B'(1,1)=\{0,1,2\}$ .
On trouve un autre contre-exemple à l'exercice 4 de:
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00037.pdf
L'exercice 5 qui suit montre qu'il y a l'égalité $\overline{B(x,r)}=B'(x,r)$ dans
un espace vectoriel normé .

Bonsoir
L'énoncé laisse supposer que le carré 5x5 est constitué des nombres allant de -11 à +13, dont la somme
vaut S=25=5² ; le carré étant composé de 5 lignes ayant même somme, celle-ci vaut donc : $\mathbf a=5$.
Ensuite, pour compléter le carré, à partir de la première ligne :  5+x-11-4+3=5  implique x=12 ; puis la
deuxième colonne : 12-7-6+x+6=5 donne x=0 ; ensuite la diagonale : 3+2+1+0+x=5 donne x= -1, etc.
On obtient finalement le carré :   
                                                     +5    +12    -11      -4     +3
                                                    +11     -7      -5      +2     +4
                                                      -8      -6      +1     +8   +10
                                                      -2       0      +7     +9      -9
                                                      -1     +6    +13    -10      -3

Bonsoir,
La confusion consiste à considérer   [tex]x^2+x+1=0[/tex]  et   [tex]x+1+\frac{1}{x}=0[/tex]  comme une seule équation,
au lieu de les considérer comme un système à deux équations .
Ainsi, après avoir effectué la substitution de  x+1 , on obtient le système des deux équations
[tex]x^2+x+1=0[/tex]  et  [tex]x^3-1=0[/tex] ,  la première excluant la valeur 1,  ou plutôt imposant les
deux autres valeurs racines cubiques de l'unité .
Si l'on considère le système d'équations   [tex]x^2+a=0[/tex]  et  [tex]\frac{1}{x}+a=0[/tex] , on obtient , par
substitution de a :  [tex]x^2-\frac{1}{x}[/tex] , mais on perd l'information de a si on ne considère pas les deux
premières équations comme un système ; mais comme les deux équations sont équivalentes
lorsque a=x+1, cela explique la confusion .