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#1 Entraide (supérieur) » edo d'ordre 1 » 06-01-2021 17:10:03

mati
Réponses : 2

Bonjour,
j'essaye de résoudre l'équation suivante en utilisant la méthode du facteur intégrant
$$
(x^2+1) y'+3x y = 6 x
$$
on pose $y(x_0)=y_0$. Je commence par diviser les deux membres de l'équation par $(x^2+1)$, ce qui nous donne
$$
y' + \dfrac{3x}{x^2+1}= \dfrac{6x}{x^2+1}
$$
puis le principe est de multiplier les deux membres par $\exp(\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1})$.
Mais quand on multiplie les deux membres de l'équation par $\exp(\dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1))$
On a
$$
\displaystyle\int _{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1} = \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{2 s}{s^2 +1} ds = \dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1)= -\dfrac{9}{4}(x_0^2+1)(x^2+1)$$, on obtient pas la méthode du facteur intégrant.
Où est le problème?

Cordialement

#2 Entraide (supérieur) » FreeFem++ » 16-12-2020 06:43:19

mati
Réponses : 1

Bonjour,
j'espère que quelqu'un parmi vous pourra m'aider sur une question de FreeFem++.
J'ai le système non linéaire couplé suivant
\begin{equation}\label{1}
\dfrac{\partial U}{\partial t} = -k_2 UV
\end{equation}
\begin{equation}\label{2}
\dfrac{\partial I}{\partial t}= k_2 UV - \sigma_1 I
\end{equation}
\begin{equation}\label{3}
\dfrac{\partial V}{\partial t}= D \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ k_3 I_{\tau} - \sigma_2 V
\end{equation}
$k_2, k_3, D, \sigma_1$ et $\sigma_2$ sont des données réelles, et $I_{\tau}(x,t)= I(x,t-dt)$ avec $dt$ le pas de temps.

Comment écrire la formulation variationnelle associé à ce système?

Bien cordialement

#3 Re : Entraide (supérieur) » Distribution tempérée » 09-08-2020 16:28:45

Bonjour Roro,
je pense que mon cours n'est pas complet.
Alors la semi norme sur $S(\mathbb{R}^n)$ est donnée par
$$
\forall p \in \mathbb{N}, \ N_p(\varphi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^{\beta} \varphi||_{L^{\infty}}.
$$
Après quelques recherches, je lis qu'on peut dire que $N_p(\varphi)= ||P D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}}$, où $\alpha \in \mathbb{N}^n$.
Question 1: c'est quoi la relation entre ce nouveau $N_p$ avec un polynôme quelconque $P$ et la définition initiale?
Ensuite, je lis aussi la remarque suivante: puisque pour tout compact $P$ il existe $m$ assez grand tel que $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$, alors on peut écrire $N_p(\varphi)$ de la forme $(1+||x||^2)^m |D^{\alpha} \varphi(x)| \leq  c$
Question 2: Qu'est ce qu'n veut dire ici par la notation $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$ pour tout polynôme $P$?

Tout ça est brouillé dans ma tête, je vous remercie d'avance de m'aider à éclaircir tout ça.

#4 Re : Entraide (supérieur) » Distribution tempérée » 08-08-2020 13:13:55

Soit $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$. On dit que $T \in S'(\mathbb{R}^n)$ si
$$
\exists p \in \mathbb{N}, \exists c, \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n),\ |<T,\varphi>| \leq c N_p(\varphi),
$$
où $N_p(\varphi)= \sum\limits_{{|\alpha| \leq p,  |\beta| \leq p}}|x^{\alpha} D^{\beta} \varphi|_{L^{\infty}}.$

Merci d'avance.

#5 Entraide (supérieur) » Distribution tempérée » 08-08-2020 10:10:17

mati
Réponses : 4

Bonjour
Je cherche à démontrer le résultat suivant: toute fonction $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ qui vérifie ceci: il existe un polynôme $P$ tel que: $|f(x)| \leq |P(x)|, \ \forall x \in \mathbb{R}^n$ est une distribution tempérée. Les polynômes eux mêmes sont des distributions tempérées.
Voici ce que j'ai essayé.
$f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ veut dire qu'il définie une distribution $T_f$ par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ on a
$$
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx.
$$

On a
$$
|\langle T_f,\varphi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} |
=
\Big|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx\Big| \leq \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |P(x) \varphi(x)| dx.
$$
Pas d'idée pour finir la démonstration.
Merci d'avance.

#6 Re : Entraide (supérieur) » Valeurs propres d'une edo » 27-05-2020 09:35:30

Pardon j'ai fait une énorme erreur de calcul.
On obtient ceci:
$$
y'(2\pi) \bar{y}(2\pi) -y'(0) \bar{y}(0) -\displaystyle\int_{0}^{2\pi} y' \bar{y}' dx + \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx =0.
$$
En utilisant les conditions aux limites (donc $\bar{y}(0)= 2 y(2\pi)$ et $y'(0)= y'(2\pi)$ on a
$$
-y'(2\pi) \bar{y}(2\pi) -\displaystyle\int_0^{2\pi} \bar{y}' y' dx +\lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} \bar{y} y dx =0
$$
J'ai du mal à conclure avec tout ça. Dans mon esprit il faut conclure que $y=0$, mais là je ne vois pas comment.

#7 Re : Entraide (supérieur) » Valeurs propres d'une edo » 27-05-2020 09:09:15

Oui je sais intégrer par partie et je ne cesse de refaire le calcul, je trouve la même chose
$$
\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx = [y' \bar{y}]_0^{2\pi}- \displaystyle\int_0^{2\pi} y' \bar{y}' dx.
$$
Où est l'erreur?

#8 Re : Entraide (supérieur) » Valeurs propres d'une edo » 26-05-2020 10:24:44

Bonjour
on considère le problème
$$
\begin{cases}
y''+\lambda y=0\\
y(0)-2 y(2 \pi)=0\\
y'(0)-y'(2\pi)=0
\end{cases}
$$
je cherche à montrer que $\lambda = a+i b$ avec $b \neq 0$ ne peut pas être une valeur propre, c'est à dire que ce $\lambda$ donnera une solution trivial $y=0$.
j'écris ceci:
en multipliant les deux membre de l'équation par $\bar{y}$ et en intégrant sur $[0,2\pi]$ on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx + \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx =0
$$
l'ipp nous donne que $\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx= [y \bar{y}']_0^{2\pi}-\displaystyle\int_0^{2\pi} y' \bar{y}' dx=  [y \bar{y}']_0^{2\pi} - [y \bar{y}]_0^{2\pi}$
Donc on a
$$
[y \bar{y}']_0^{2\pi} - [y \bar{y}]_0^{2\pi}+ \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx=0.
$$
J'ai des difficultés à conclure car le membre de droite de la dernière égalité n'est pas zéro. Comment faire?

Cordialement

#9 Re : Entraide (supérieur) » Valeurs propres d'une edo » 20-05-2020 18:10:13

je veux dire qu'un nombre complexe à partie imaginaire non nulle ne peut pas être une valeur propre. Comment le démontrer?

#10 Entraide (supérieur) » Valeurs propres d'une edo » 20-05-2020 17:29:56

mati
Réponses : 9

Bonjour
on considère le problème aux limites $$

\begin{cases}
y''+ \lambda y &=~0\\
y(0)-2 y(2 \pi)&=~0\\
y'(0)-y'(2\pi)&=~0
\end{cases}

$$ On dit que $\lambda$ est une valeur propre du problème au limite si et seulement si la solution associée n'est pas triviale.
La question est : comment montrer qu'un nombre complexe ne peut pas être une valeur propre de ce problème aux limites ?

#11 Entraide (supérieur) » Majoration d'une fonction et sa dérivée » 19-04-2020 22:17:39

mati
Réponses : 1

Bonjour
j'ai une question bête
si $|u(t,x)| \leq C(t)$ où $C$ est une fonction de $t$ indépendante de $t$.
Est-ce que cela implique que $|\partial_{x_i} u(t,x)| \leq C(t)$?

Cordialement

#13 Entraide (supérieur) » convergence uniforme d'une suite et de sa dérivée » 19-04-2020 16:26:07

mati
Réponses : 2

Bonjour
soit $(t,x) \in \mathbb{R}^d \times [0,T]$ et soit une suite $u_n(t,x)$.
On a les hypothèses suivantes:
1. $u_n(t,x)$ converge uniformément vers $u_0(t,x)$
2. $\partial_{x_i} u_n(t,x)$ est uniformément convergente sur $[0,T] \times \mathbb{R}^d$.

Est-ce qu'il est possible de conclure que la limite uniforme de  $\partial_{x_i} u_n(t,x)$ est $\partial_{x_i} u_0(t,x)$?

Cordialement

#14 Entraide (supérieur) » edp et rotation » 19-03-2020 09:38:50

mati
Réponses : 1

Bonjour
j’ai une question s’il vous plaît.
Si on considère l’équation
$$d_t u -\Delta u + c(x).\nabla u + u =f(x,t) \ \mbox{dans} [0,T] \times \mathbb{R}^2$$
où $c(x)=(c_1(x),c_2(x))$.

Quelle forme on peut donner aux coordonnées du vecteur $c(x)$ pour que les trajectoires du fluide forment un cercle? S’il vous plaît.
Merci d’avance pour votre aide.

Bien cordialement

#15 Entraide (supérieur) » edp et passage à la limite » 16-03-2020 11:13:58

mati
Réponses : 0

Bonjour

On considère l'équation

\begin{equation}
\partial_t u(t,x)+ v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= \kappa \Delta u(t,x) + F(t,x,u(t,x)) \ \mbox{ dans } \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.......(1)
\end{equation}
avec la condition initiale
\begin{equation}
u(0,x)= u_0(x) \ \mbox{dans } \mathbb{R}^d,.....(2)
\end{equation}

où $v(t,x)$ est un vecteur de fonctions donné, et $F$ une fonction donnée, et $\kappa$ est une constante strictement positive.

On note $u^{[\kappa]}(t,x)$ la solution de l'équation (1).

On considère aussi l'équation de transport

\begin{equation}
\partial_t u(t,x) + v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= F(t,x,u(t,x)) \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.....(3)
\end{equation}

qui correspond à l'équation (1) dans le cas $\kappa=0$.

On note $u^{[0]}(t,x)$ la solution de l'équation (3).

L'objectif est de montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0.

Pour ça, on commence par définir deux familles de solutions: on pose $\delta_n= \dfrac{1}{2^n}, \ n=1,2$ et on introduit la discrétisation en temps $t:$
$$
0=t_0^{[n]} < t_1^{[n]}< \ldots < t_{k-1}^{[n]} < t^{[n]}_k < ..., \ t^{[n]}_k = k \delta_n.
$$

Pour chaque $\kappa > 0$ et pour chaque $n$, on définit la fonction
\begin{equation}
\Theta_n{[\kappa]}(x)= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}}
\exp(-\dfrac{|x|^2}{4 \delta_n \kappa}), \ x \in \mathbb{R}^d,.....(4)
\end{equation}


\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t_0^{[n]},x)=u_0(x),......(5)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x)= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \Theta^{[\kappa]}_n(y) u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x-\delta_n v(t^{[n]}_k,x)+y) dy + \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_{k-1},x)), \ k=1,2,...(6)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]} (t,x)= \dfrac{t_k^{[n]}-t}{\delta_n} u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.......(7)
\end{equation}

\textbf{On a montré que $u^{[\kappa,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[\kappa]}(t,x)$ de (1).}

\bigskip

Puis, on a définit une famille de solutions approximatives pour (3):

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_0,x)= u_0(x),......(8)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_k,x)=u^{[0,n]}(t^{[n]}_{k-1},x\delta_n v(t^{[n]}_k,x))
+ \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[0,n]}(t^{[n]},x)), \ k=1,2,...(9)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t,x)= \dfrac{t^{[n]}_k - t}{\delta_n} u^{[0,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[0,n]}(t^[n]_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.....(10)
\end{equation}


On remarque que (9) est la limite naturelle de (6).

\textbf{On a montré que $u^{[0,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[0]}(t,x)$ de (3).}

\bigskip

La question est: comment montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0? S'il vous plaît.

Merci d'avance.

#16 Entraide (supérieur) » équations Stochastiques » 14-03-2020 16:45:28

mati
Réponses : 0

Bonjour,
l'objectif est de démontrer de la convergence uniforme dans $ [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d $ de $ u^{[\kappa]}( t, x) $ vers $ u^{[0]} ( t, x) $ pour $ \kappa \to 0 $, où $ u^{[\kappa]} ( t, x) $ et $ u^{[0]} ( t, x) $ sont respectivement la solution de l'équation
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d ....(1)
\end{equation}
et
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) =
F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d....(2) 
\end{equation}
avec la donnée initiale
\begin{equation}
u(0, x ) = \varphi (x ) ...(3)
\end{equation}
tandis que $ \tau $ est un nombre réel strictement positif  arbitraire. C'est-à-dire, on doit démontrer que
\begin{equation}
\sup_{ ( t, x) \in [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d }
| u^{[\kappa]} ( t, x) - u^{[0]} ( t, x) | \to 0 \qquad
\mbox{pour} \ \ \kappa \to 0 ....(4)
\end{equation}

Je pense que l'idée des processus stochastiques correspondants sera utile. Mais, pour utiliser les équations stochastiques, il faut effacer le terme non linéaire $ F ( t, x, u (t , x) ) $ dans (1) (et donc aussi dans (2). Il s'agira alors de l'\'equation
\begin{equation}
d \xi = - v ( r , \xi ) dr + \kappa d W (r) , \qquad
\xi ( s) = x , \qquad s \leq r \leq T , ...(5)
\end{equation}
et de la valeur moyenne (espérance mathématique) $ \mathbb{E} u (T , \xi (T) ) $ de $ u (T , \xi (T) ) $, où $u$ est une fonction suffisamment régulière. On suppose 
\begin{equation}
u ( T , x ) = \varphi ( x ) . ...(6)
\end{equation}
Si on pose
\begin{equation}
u (t , x ) = \mathbb{E} u (T, \xi (T) ) = \mathbb{E} \varphi
( \xi (T) ) , \qquad t = T - s ,.....(7)
\end{equation}
alors $ u (t , x ) $ satisfait à l'équation (1) et à la condition initiale (3). Cette technique est bien connue et se trouve dans beaucoup de manuels d'équations stochastiques. Alors si $ \kappa $ tend vers 0, alors on peut imaginer que la solution $ \xi $ de l'équation (5) tend vers la solution de l'équation différentielle ordinaire
\begin{equation}
\frac{d}{dr} \overline{\xi} (r) = - v ( r , \overline{\xi} (r) ), \qquad
\overline{\xi} ( s) = x , \qquad s \leq r \leq T . ....(8)
\end{equation}

La convegence de $ \xi $ vers $ \overline{\xi} $ sera, probablement, exprimée par une relation
\begin{equation}
\mathbb{P} ( \{ | \xi (T) - \overline{\xi} (T) | \leq \varepsilon \} )
\to 1 \qquad \mbox{pour} \ \ \kappa \to 0  , .....(9)
\end{equation}
ou bien
\begin{equation}
\mathbb{E} \big[ | \xi (T) - \overline{\xi} (T) |^2 \big] \to 0 \qquad
\mbox{pour} \ \ \kappa \to 0 , ......(10)
\end{equation}
ou bien une autre relation similaire. On peut espérer que la relation de nos équations (1) et (2), relation correspondante à (9) ou (10) ou une autre forme similaire, nous permettra de démontrer (4). Pour ce faire, il nous faut traduire la relation (9)ou (10) dans le langage de nos équations déterministes et la transformer en une forme applicable à notre problème.

Ma question est: comment traduire (9) et (10) afin d'arriver à répondre à la question initiale?

Merci d'avance pour votre aide.

#17 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 29-09-2019 07:51:54

Bonjour LCTD
mais moi je cherche la solution générale, et après avoir cherché, je trouve qu'elle s'écrit sous la forme suivante:
$$
v(\tau,t)= \sum_{\mathbb{N}} \delta_n \exp(- (n\pi/L)^2 \nu t) (\alpha \cos(k_n t + \phi_n) + \beta \sin (k_n t+\phi_2))
$$
où les $\phi_i, \alpha, \beta$ et $k_n$ viennent des conditions aux limites et initiales.
Mais comment on se débarrasse de la somme sur $n$?

Aussi dans votre solution, on ne voit pas $\tau$.
Cordialement

#18 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 18-09-2019 17:57:29

Oui j'essaye de reconnaître des dérivées de quotient ou de produit mais je n'y arrive pas. Pouvez vous me dire si vous en voyez? Svp

#19 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 18-09-2019 13:04:43

Bonjour
vous avez raison Roro, je m'excuse. Mais ça me rend bête tellement je ne trouve pas comment on peut passer de l'écriture
$$
a(t) \alpha^2(t) \dfrac{v \partial^3_z v}{v^2}
- a(t) \alpha^2(t) \dfrac{\partial^3_z v}{v^2}
+ 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial^2_z v)(\partial_z v)}{v^2}
- 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}
$$
à l'écriture
$$
a\alpha^2\dfrac{v\partial^3_z v-3\partial_z v\partial^2_z v}{v^2}+2a\alpha^2\dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}.
$$
?
C'est possible de passer de l'une à l'autre?  Sinon il y a un moyen de simplifier la première écriture?

Bien cordialement

#20 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 17-09-2019 20:58:11

Bonjour
est ce qu'on a l'égalité suivante:
$$
\partial^3_z v=(\partial_z v)(\partial_z^2 v)
$$
?

Bien cordialement

#21 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 18:10:40

LCTD merci pour l'idée. Je ne suis pas sure de comprendre. Vous avez trouvé une unique solution? Et comment savoir si avec ce $v$ les conditions initiales et aux limites sur u sont satisfaites?

Bien cordialement

#22 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 11:23:07

Non, j'ai bien dit que les fonction a, b , c, $\alpha$ et $\beta$ sont connues on les connaît.
Je cherche à déduire des conditions initiale et aux limites sur v (en utilisant la relation entre $u$ et $v$ et aussi du fait qu'on sait que $u(x,0)=0, u(1,t)= u(0,t)=0$), afin  de résoudre l'edp linéaire du premier message. C'est possible?

Bien cordialement

#23 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 06:48:37

Bonjour
j'ai une question assez complexe pour moi.
Si on pose
$$
u(x,t)= a(t) \dfrac{\partial_z v(\tau,z)}{v(\tau,z)} + b(t) x + c(t)
$$
avec $\tau=\tau(t)$ et $z= \alpha(t) x + \beta(t)$.
où les fonctions $a, b, c \alpha, \beta$ sont connues.
Si on impose sur $u$ les conditions: u(x,0)=0, u(0,t)=u(1,t)=0. Est-ce qu'on peut en déduire des conditions initiale et aux limites sur $v$?

Bien cordialement

#24 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 17-09-2019 06:42:26

Zbulor et pour mon calcul du post 3 il est correct? Stp

#25 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 16-09-2019 21:42:35

C'est ok, merci.
Autre question, est-ce que ce qui suit est correct :
$$ \partial_x (\partial_z v^2)= 2 \partial_x (v. \partial_z v)= 2(\partial_x v)(\partial_z v)+ v. \partial_x(\partial_z v)
= 2 \alpha((\partial_z v)^2 + 2 v \partial^2_z v)\quad ?
$$ Est-ce qu'on peut la simplifier encore plus ?

Bien cordialement

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