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yoshi
31-01-2019 18:18:41

Re,

Clap ! Clap !

@+

Deugard
30-01-2019 23:51:18
Une solution sans programmation

La récurrence [tex]f_{n+2}=f_n+f_{n+1}[/tex] des nombres de Fibonacci se traduit pour leurs sommes par :
                       [tex]\sum_{i=0}^nf_{3i+3}=\sum_{i=0}^nf_{3i+1}+\sum_{i=0}^nf_{3i+2}.[/tex]
D'autre part, on a logiquement :
                       [tex]\sum_{i=0}^nf_{3i+1}+\sum_{i=0}^nf_{3i+2}+\sum_{i=0}^nf_{3i+3}=\sum_{i=0}^{3(n+1)}f_i.[/tex]
Les deux relations précédentes donnent alors :
                       [tex]\sum_{i=0}^nf_{3i+3}=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{3(n+1)}f_i.[/tex]
Or l'expression classique de la somme des m premiers termes de la suite de Fibonacci,
qui se démontre facilement par récurrence, s'écrit :
                       [tex]\sum_{i=0}^mf_i=f_{m+2}-1.[/tex]                     
Des deux relations précédentes, on déduit alors finalement :
                       [tex]\sum_{i=0}^nf_{3i+3}=\frac{1}{2}(f_{3n+5}-1),[/tex]
ce qui représente la somme des n+1 premiers nombres de Fibonacci pairs .
Vérifions cette formule sur un exemple :
                      [tex]\sum_{i=0}^3f_{3i+3}=f_3+f_6+f_9+f_{12}[/tex] = 2 + 8 + 34 + 144 = 188,
                      et  [tex]\frac{1}{2}(f_{3.3+5}-1)=\frac{1}{2}(f_{14}-1)=\frac{1}{2}[/tex](377-1)=[tex]\frac{376}{2}[/tex]= 188.
L'énoncé demande la somme des nombres de Fibonacci pairs dont la valeur n'excède pas 4 millions.
Dans la liste des nombres de Fibonacci, voir par exemple :
                       www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html
on trouve 3524578=[tex]f_{33}[/tex] comme nombre de Fibonacci pair le plus élevé possible inférieur à 4 millions.
La somme cherchée vaut alors, en appliquant la formule précédente pour n=10, puisque 33=3.10+3 :
                       [tex]\sum_{i=0}^{10}f_{3i+3}=\frac{1}{2}(f_{3.10+5}-1)=\frac{1}{2}(f_{35}-1)=\frac{1}{2}[/tex](9227465-1)= 4613732 ,
ce qui est le résultat demandé .

tibo
18-09-2017 16:22:28

Merci !

freddy
18-09-2017 07:12:58

Salut,

Bravo Fred !

Fred
17-09-2017 19:58:21

Salut Tibo,

  J'imagine que ce sont les termes de la suite qui sont pairs. Donc ici, 2+8+34+....

F.

tibo
16-09-2017 12:18:10

Bonjour,

J'ai découvert il y a quelques jours le "projet Euler".
Il s'agit d'un peu plus de 600 problèmes de math à résoudre visiblement via la programmation.
Le tout est est en anglais, et mon anglais étant ce qu'il est j'ai parfois des problèmes de traduction.

Ce le cas pour celui-ci :
"Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms."

Comment traduire "even-valued terms"?

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