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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Bernard-maths
21-04-2021 09:44:36

Bonjour Wiwaxia !

3 semaines de passées ! Waouh

J'ai fait un petit tour sur images des maths, et je suis "tombé" sur un article de Serge Cantat, qui présentait le triangle de Reuleaux.

Je ne regarderai plus les plaques d'égout comme avant ...

J'en ai fait une extension à ma façon, en écrivant une équation de l'engin plein, puis en en cherchant les courbes de niveaux ...


Je présenterai cela plus tard, avec les courbes de niveaux, après le tétraèdre !

Merci, à bientôt, Bernard-maths

Bernard-maths
31-03-2021 20:04:10

Bonsoir !

"cinq you" ... je vais essayer de jeter quelques coups d'yeux sur ces trésors.

Il est vrai que j'ai beaucoup de mal à chercher sur internet, et en plus je fatigue beaucoup à lire ...

Mais merci Wiwaxia !

B-m.

Wiwaxia
30-03-2021 12:45:17

Comme il n'est jamais trop tard pour bien faire, je reviens à ton premier message:

Bernard-maths a écrit :

...  j’étais prof de maths, et j’ai 75 ans. Internet ne m’apporte pas toujours les réponses que j’attends, alors je cherche et trouve des trucs amusants … Je vous propose de les partager, et vous me direz ce que vous en pensez, et surtout si vous avez déjà vu quelque chose du même genre, et où ! ...

# Pour qui aime les mathématiques, il y a un ouvrage à consulter à fond, dont le titre (humour anglais ou fausse modestie ?)

"Encyclopédie Concise des Mathématiques"

ne suggère en rien qu'il comporte plus de 3200 pages:

CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
by Eric W. Weisstein
3252 pages, parution le 15/10/1998

J'ai pu le consulter assidûment dès sa parution, au centre de documentation de l'établissement où je travaillais; sa lecture a été pour moi une source de découvertes et d'émerveillement.
Si t'es possible d'accéder à une bibliothèque universitaire, tâche de te procurer l'ouvrage.
Une partie de son contenu se retrouve sur le site Wolfram Mathworld

https://mathworld.wolfram.com/

excellente encyclopédie numérique, dont l'auteur (Eric W. Weisstein) s'est retrouvé un moment en conflit avec l'éditeur CRC Press.

https://en.wikipedia.org/wiki/CRC_Conci … athematics

# Il y a aussi le Manuel des Fonctions Mathématiques d'Abramowitz et Stegun, numérisé donc accessible sur le Web, qui contient des rappels exhaustifs sur les sujets traités:

Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions
https://www.math.ubc.ca/~cbm/aands/

# L'Encyclopédie en ligne des Suites de Nombres Entiers

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
http://oeis.org/?language=french
https://fr.wikipedia.org/wiki/Encyclop% … es_entiers

répertorie toutes les suites actuellement connues dans la communauté mathématique mondiale; au delà de son aspect énumératif, elle peut fournir des indications précieuses sur un sujet donné par le biais des suites susceptibles de s'y rattacher.

# L'amateur de mathématiques déjantées prendra son pied dans la consultation du site

The Geometry Junkyard
https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/

Le parcours est aride, mais le chercheur obstiné trouvera des pépites.

# Plus classique mais non moins intéressant est le site du CNRS "Images des Mathématiques"

https://images.math.cnrs.fr/

J'espère ainsi que les randonnées numériques te paraîtront moins décevantes.

Wiwaxia
30-03-2021 08:46:00

Bonjour Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

... Quant à l'illusionniste, il se fait des illusions ! Certes certains sont contents, mais d'autres sont totalement démotivés !
Mais dans l'ensemble c'était très sympa, et je suis prêt à recommencer ...

Tu as eu l'ambition de présenter un sujet difficile, et souvent l'on ne se doute pas de de l'abîme séparant, chez certains jeunes, la perception des objets réels de leur représentation; je me souviens encore de mon étonnement devant un élève de 3me (pourtant intelligent et éveillé) qui, tenu d'analyser une planche anatomique en séance d'accompagnement scolaire, se déclarait incapable de localiser sa propre colonne vertébrale ...
La règle impérative à ne jamais oublier est de toujours vérifier leur connaissance des notions et des mots utilisés.

Bernard-maths a écrit :

... Pour moi, la difficulté vient de la représentation 3D, que je dois décortiquer, car je n'ai pas de logiciel pouvant "lire" et tracer ces équations directement  ...

J'y reviendrai plus tard, mais la réponse ne tient pas en  3 lignes ...

Bernard-maths a écrit :

... l'on peut grouper les termes 2 par 2 (avec le même Si) et les élever à la puissance réelle positive n, ainsi que K ! Cela provoque des arrondis extérieurs si n > 1, et intérieurs si n < 1 ...

Puisque tu en reparles, voici à quoi tu peux t'attendre, par les représentations que Surfer donne des équations symétrique de degré pair élevé (20 ou 30, j'ai peut-être changé en cours de route), en partant de quelques expressions de base:

P1(x, y, z) = xN + yN + zN;
P2(x, y, z) = (x + y)N + (x - y)N + (y + z)N + (y - z)N + (z + x)N + (z - x)N ;
P3(x, y, z) = (x + y + z)N + (x + y - z)N + (y + z - x)N+ ( z + x -y)N ;

# P1(x, y, z) = 1 conduit à un cube (déjà cité),
# P2(x, y, z) = 1 conduit à l'icosaèdre rhombique, P3(x, y, z) = 1 à l'octaèdre :

KCEhjE2G85x_Sxy-Sxyz.png

# 104P1(x, y, z) + P2(x, y, z) = 1 et
105P1(x, y, z) + P3(x, y, z) = 1 à deux octaèdres tronqués:

KCEhsF1hLQx_E4.SxpSxy-E5SxpSxyz.png

# 103P2(x, y, z) + P3(x, y, z) = 1 à un polyèdre plus compliqué ...

KCEhBbhPGDx_1000Syz+Sxyz.png

La soustraction produit des formes encore plus étonnantes.

Bernard-maths
29-03-2021 09:26:29

Bonjour à tous !

Salut Wiwaxia ! Alors tu veux m'en mettre plusieurs tranches ?

Oui, ce genre d'équation peut donner des choses surprenantes, et jolies à voir.

J'ai rencontré cela dans le plan, avec l'octogone variable ...

Pour moi, la difficulté vient de la représentation 3D, que je dois décortiquer, car je n'ai pas de logiciel pouvant "lire" et tracer ces équations directement.

Je dirai en plus sur ta proposition, que l'on peut grouper les termes 2 par 2 (avec le même Si) et les élever à la puissance réelle positive n, ainsi que K ! Cela provoque des arrondis extérieurs si n > 1, et intérieurs si n < 1 ...

Quant à l'illusionniste, il se fait des illusions ! Certes certains sont contents, mais d'autres sont totalement démotivés !

Mais dans l'ensemble c'était très sympa, et je suis prêt à recommencer.

Merci, et à plus, Bernard-maths

Wiwaxia
29-03-2021 08:39:09

Bonjour Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

Bien arrivé ... / ... Maintenant, je découpe des patrons de cubes "retournables" pour les enfants demain ! ...

J'espère que cette rencontre s'est bien passée. Les gamins ont dû être épatés pat tes montages articulés ... T'ont-ils pris pour un illusioniste ?

Bernard-maths a écrit :

... Ce qui m'intéresse, c'est de trouver des équations paramétrées, qui permettent d'obtenir "tout un tas" d'objets ! ...

Tu devrais essayer des combinaisons semblables aux suivantes:

F(x, y, z) = |S1 + c| + |S1- c| + |S2 + c| + |S2- c| + |S3 + c| + |S3 - c| + |S4 + c| + |S4 - c| + |S5+ c| + |S5 - c| + |S6+ c| + |S6- c| = K

avec: S1 = x + y , S2 = x - y , S3 = y + z , S4 = y - z, S5 = z + x , S6 = z - x

ou encore: S1 = x + y + z , S2 = x + y - z , S3 = y + z - x, S4 = z + x - y .

Propositions bien sûr non exclusives.

Bernard-maths
24-03-2021 18:32:38

Bonsoir !

Bien arrivé. Merci pour les liens, je verrai un peu plus tard ...

Dans l'approche par les tranches, on réalise des troncatures, et même des arrondis ...

Ce qui m'intéresse, c'est de trouver des équations paramétrées, qui permettent d'obtenir "tout un tas" d'objets !

Maintenant, je découpe des patrons de cubes "retournables" pour les enfants demain !

Bonne soirée, B-m

Wiwaxia
24-03-2021 15:29:10

Je répond simplement sur un point:

Bernard-maths a écrit :

... C'est parce que je veux garder des faces planes sur mes objets, et c'est bien le problème que je rencontre (presque partout) avec les logiciels, sauf en particulier GeoGebra, en dimension 2, mais en 3D il ne prend que très peu d'expressions non standard, et c'est pour ça que je fais des montages !

Je vais te parler des bandes de plan ou tranches d'espace : soit un triangle ABC, il peut être défini par une "équation pleine" du genre Somme des 3 distances d'un point du plan aux 3 droites supports des côtés = hauteur (si équilatéral) ou f(des angles, des côtés) en général ...

Les polyèdres et leurs faces planes sont parfaitement reproductibles (tout au moins lorsqu'ils sont convexes) à l'aide d'un langage de bas niveau (au sens des fonctions de base disponibles) tel que le Pascal.
Je posterai pour mise en œuvre du procédé le programme dont j'ai réglé hier les derniers détails (1)

La même démarche permet des troncatures par des plans, et même par des surfaces courbes - moyennant quelques aménagements.

Je sais que POV-Ray présente (entre autres) des objets plans, tels que les triangles définis par les coordonnées de leurs sommets. Peut-être devrais-tu travailler la question.
En vrac (les liens sont anciens)
https://khayyam.developpez.com/articles/3d/povray/
http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/0/02/ … ncipal.pdf
http://povray.free.fr/
https://mabboux.pagesperso-orange.fr/ph … rem/d1.htm
http://www.f-lohmueller.de/index_f.htm

Bon voyage !

(1) Pour le recentrage de la présente discussion, j'ai transféré mes interventions sur un nouveau sujet:

http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13806

Bernard-maths
24-03-2021 13:37:07

Bonjour Wiwaxia !

Je vois que tu cogites ... Alors dans mes équations, il y a une consommation immodérée de valeurs absolues !

C'est parce que je veux garder des faces planes sur mes objets, et c'est bien le problème que je rencontre (presque partout) avec les logiciels, sauf en particulier GeoGebra, en dimension 2, mais en 3D il ne prend que très peu d'expressions non standard, et c'est pour ça que je fais des montages !

Je vais te parler des bandes de plan ou tranches d'espace : soit un triangle ABC, il peut être défini par une "équation pleine" du genre Somme des 3 distances d'un point du plan aux 3 droites supports des côtés = hauteur (si équilatéral) ou f(des angles, des côtés) en général ...

MAIS si tu traces les parallèles aux côtés passant par les sommets opposés, ABC est l'intersection de 3 bandes de plan : et tu peux définir une "équation pleine" en disant Somme des 6 distances d'un point du plan, aux 6 droites = somme des 3 largeurs des 3 bandes !

Pareil dans l'espace avec des tranches ! Ce procédé m'a toujours permis de trouver une "équation pleine" de tout polygone ou polyèdre convexe ... Voilà, tu as de quoi cogiter en avant première sur ce que je vais développer + tard ... Et pour une "surface de niveau" ? ...

Cordialement, Bernard-maths

PS : ta dernière équation fonctionne aussi, mais comme il faut un "centre", ou plusieurs  alors j'ai trouvé les bandes + simples ... et ça a aussi une approche géométrique visuelle ...

Je pars dans 1h à Carcassonne pour "Les maths en scène".

Wiwaxia
24-03-2021 10:01:09

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... Il faut aussi que je te donne 2 équations pour voir si tu les sors correctement avec tes logiciels, ou si tu fais "du montage" comme moi avec GeoGebra!? ...

J'ai déjà donné mon accord de principe pour des équations de complexité raisonnable.
J'exprime cependant ma réserve dans le cas d'un usage immodéré des valeurs absolues, pour lesquelles tu manifestes un intérêt hors du commun: la prolifération des cas particuliers risque de conduire à une situation ingérable, en ce qui concerne la dérivation.
Ceci dit, la discussion reste ouverte.

Bernard-maths a écrit :

... je crois qu'il faut qu'on mette les choses au point ... nous travaillons sur des équations différentes.
... / ...
Je vais donc lancer une nouvelle discussion sur les équations de polyèdres convexes pleins, et les surfaces de niveau qu'on peut en tirer ...

Soit un plan (P), et (H) le pied de la perpendiculaire abaissée sur celui-ci depuis une origine donnée (O).
Ce plan est séparé du point (O) par la distance au centre Dc = OH ;
son orientation spatiale est définie par le vecteur unitaire (un) colinéaire à (OH) et de même sens:

un = (1/OH).OH .

KCygoGlNgNx_Equation-d-un-plan-dans-l-espace.png
On a pour tout point (M) du plan considéré HM perpendiculaire à un,
ce qui se traduit par l'annulation du produit scalaire correspondant: un.HM = 0 ;
en tenant compte de ce que HM = OM - OH ,
et en posant p = un.OM , il vient:

p - un.OH = 0 = p - (OH)(un.un) ,

soit finalement: p - Dc = 0 .

Soit maintenant un point quelconque (M) et la fonction F(p) = p - Dc + |p - Dc| ;
son expression dépend de la position du point par rapport au plan d'équation p = Dc :
a) si p ≤ Dc , alors F(p) = p - Dc + (Dc - p) = 0 ;
b) si p > Dc , alors F(p) = 2(p - Dc) > 0 .
Deux régions de l'espace, séparées par le plan frontière d'équation p = Dc , sont par conséquent discernables:
a) celle qui contient l'origine, caractérisée (comme le plan limite) par l'égalité F(p) = 0 ;
b) l'autre pour laquelle on a F(p) > 0 .

Élargissons désormais la notion précédente au cas d'un polyèdre convexe, défini par la donnée d'au moins 4 plans entourant l'origine, en considérant la somme suivante étendue à toutes les faces présentes dont chacune est caractérisée par le couple (unj , Dcj):

S(M) = Σj=1Nf (Fj(p)) ;

Le domaine intérieur (faces incluses) du polyèdre est caractérisé par l'égalité S(M) = 0 ;
comme il n'intervient en effet que des termes non-négatifs, chacun d'eux est obligatoirement nul:

Fj(p) = 0 ;

on définit ainsi l'intersection commune à tous les demi-espaces délimités par les diverses faces, et contenant l'origine.

Remarques:
# La donnée des sommets n'est pas indispensable: il suffit simplement de connaître pour chaque face la distance (Dcj) la séparant du centre, et les composantes du vecteur unitaire normal (unj) correspondant.
# La présence d'un centre de symétrie n'est pas nécessaire; s'il existe toutefois, l'expression de la somme S(M) se simplifie par regroupement des termes, dont le nombre est divisé par deux; on retrouve alors une expression du type:

S(M) = Σ (|Dc + p| + |Dc - p|) .

Bernard-maths
22-03-2021 11:43:20

Bonjour Wiwaxia !

je crois qu'il faut qu'on mette les choses au point ... nous travaillons sur des équations différentes.

Je connais ces équations en puissances, que j'appelle de super-cube, et qui donne des formes arrondies sans plat.

Je vais donc lancer une nouvelle discussion sur les équations de polyèdres convexes pleins, et les surfaces de niveau qu'on peut en tirer ...

Je t'en avais déjà parlé, et tu verras que ça mène à des approches différentes ! Qu'en penses tu ???

J'ai besoin pour cela de me "réviser" les étapes, et cette semaine, je suis en sessions d'animations pour la quinzaine de "les maths en scène".

Il faut aussi que je te donne 2 équations pour voir si tu les sors correctement avec tes logiciels, ou si tu fais "du montage" comme moi avec GeoGebra!?

Voilà bien du sport en perspective !!!

Cordialement, Bernard-maths

Wiwaxia
22-03-2021 10:31:01

Bonjour Bernard-maths,   

Bernard-maths a écrit :

... pour tes derniers dessins, je remarque que ça ne correspond pas à ce que j'obtiens théoriquement !?

Tes dessins donnent des arrondis sur les arêtes, alors que moi je garde les 8 triangles, mais entre les triangles je n'ai pas de plats mais des morceaux de cylindres, et aux sommets j'ai des calottes sphériques ... si n > 1, ou rentrés si n < 1. Comme pour un dé à jouer ...

La dernière série de surfaces fermées est aux précédentes
ce que le graphe d'équation x8 + y8 = 1 est au carré (1)
et ce que la surface d'équation x8 + y8 + z8 = 1 est au cube (2):
KCwiwYwdC1x_Courbe-et-volumex-8+y-8+-.png
(1): image réalisée sur WolframAlpha.
(2): image réalisée sur Surfer
Il n'y a pas de délimitation précise des arrondis, et si les dimensions d'une face se réduisent en ordre de grandeur à la largeur des précédents, alors cette face ne présente plus de méplat.

L'inconvénient de ta démarche est son défaut de généralité; elle ne vaut que pour une famille de polyèdres.
Les surfaces représentées dans le message (#94) dérivent de la même équation

(aN + xN)1/N  + (aN + yN)1/N + (aN + zN)1/N = b .

Bernard-maths a écrit :

... TON logiciel (ou un autre) est-il capable de "prendre une équation" et de tracer la figure correspondante ? ...

Le programme que j'ai fait admet en théorie toute équation du type F(x, y, z) = 0 ... à condition qu'elle ne soit pas trop lourde, de même que les composantes du gradient. Sous ce rapport, l'oloïde signalé par Yoshi présente une complexité (pour l'instant) incontournable: j'ai tenté en vain de simplifier l'équation cartésienne pour envisager un temps de calcul raisonnable.

Bernard-maths a écrit :

... Je pense (entre autre) à Pov Ray, ... qui est payant, mais je ne peux pas me lancer "pour rien" si c'est pas efficace ...

La dernière version de POV-Ray est gratuite, et après une période de familiarisation assez laborieuse, j'ai pu obtenir une série de polyèdres conçus comme un réseau d'arêtes, à l'aide seulement de deux sortes d'objets (sphères et cylindres).
Je viens de retrouver l'un des polyèdres permutationnels réalisés à l'aide de ce logiciel:

KCwjvBFwTgx_Poly-Perm-180-dim-r%C3%A9duites.png

Bernard-maths
20-03-2021 14:58:49

@ Wiwaxia,

pour tes derniers dessins, je remarque que ça ne correspond pas à ce que j'obtiens théoriquement !?

Tes dessins donnent des arrondis sur les arêtes, alors que moi je garde les 8 triangles, mais entre les triangles je n'ai pas de plats mais des morceaux de cylindres, et aux sommets j'ai des calottes sphériques ... si n > 1, ou rentrés si n < 1. Comme pour un dé à jouer.

Je vais essayer de te faire un dessin (en cours, mais en plan pour le moment ...)

B-m

KCupfPDCZVG_Cube-et-troncature-variable.jpg

Comme sur ces figure : gauche pour n = 1, droite pour n =3.1 environ, figure approchée !

Bernard-maths
20-03-2021 13:22:16

Bonjour Wiwaxia !

Alors un peu de temps le W-E ?

Dans les arrondis, je pense que tu peux aussi utiliser un exposant de ]0;1] ... donnant du "rentrant", ça change un peu ...

MAIS je suis complètement coincé par les possibilités restreintes de GeoGebra en 3D, je suis obligé de faire des montages de figures ... ce qui permet de mettre de la couleur selon les types de forme.

TON logiciel (ou un autre) est-il capable de "prendre une équation" et de tracer la figure correspondante ?

Je pense (entre autre) à Pov Ray, ... qui est payant, mais je ne peux pas me lancer "pour rien" si c'est pas efficace.


A bientôt, Bernard-maths

Bernard-maths
20-03-2021 13:22:03

Bonjour Wiwaxia !

Alors un peu de temps le W-E ?

Dans les arrondis, je pense qu'on peut aussi utiliser un exposant de ]0;1] ...

MAIS je suis complètement coincé par le possibilités restreintes de GeoGebra en 3D, je suis obligé de faire des montages de figures ...

TON logiciel (ou un autre) est-il capable de "prendre une équation" et de tracer la figure correspondante ?

Je pense (entre autre) à Pov Ray, ... qui est payant, mais je ne peux pas me lancer "pour rien" si c'est pas efficace.

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