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maximeneko
16-03-2020 11:23:20

oui tout a fait. elles corroborent les autres. j'ai pu les mettre en applications. merci

freddy
16-03-2020 07:05:04
maximeneko a écrit :

bonjour, je tiens à m'excuser le plus humblement du monde: j'ai posté ce topic sur un autre site. la réponse étant arrivée sur un autre forum, je me suis concentrée sur celle-ci. en effet, j'ai l'habitude avec certains sites de programmations et de developpement (autodesk) de n'avoir que peu de réponse, si ce n'est aucune. alors, j'ai cru bon de multiplier les topics. je vous demande encore une fois pardon et merci pour vos efforts.
cordialement maxime

Salut,

C’est bien, mais les réponses détaillées faites ici te vont elles ?

maximeneko
16-03-2020 03:20:44

bonjour, je tiens à m'excuser le plus humblement du monde: j'ai posté ce topic sur un autre site. la réponse étant arrivée sur un autre forum, je me suis concentrée sur celle-ci. en effet, j'ai l'habitude avec certains sites de programmations et de developpement (autodesk) de n'avoir que peu de réponse, si ce n'est aucune. alors, j'ai cru bon de multiplier les topics. je vous demande encore une fois pardon et merci pour vos efforts.
cordialement maxime

yoshi
06-03-2020 13:49:26

Bonjour,

J'ai trouvé une démo(plus courte ? Pas sûr, mais aussi simple) avec les relations métriques dans le triangle rectangle, sans trigo.
J'appelle E et F les points des cercles de mêmes abscisses que O et O'.
Coordonnées
$E(0\,;\,R)$   et    $F(d\,;\,r)$
Le coefficient directeur de la droite (EF) est : $-\dfrac{R-r}{d}$, son ordonnée à l'origine est R.
L'équation de cette droite est donc
$y=-\dfrac{R-r}{d}x+R$
L'ordonnée du pont C étant 0, il vient $-\dfrac{R-r}{d}x+R=0\;\iff\;x=\dfrac{dR}{R-r}$ 

D'où $OC =\dfrac{dR}{R-r}$  et  $O'C= \dfrac{dR}{R-r}-d=\dfrac {dR-dR+dr}{R-r}=\dfrac{dr}{R -r}$


Je considère le tr. OAC et sa hauteur [AH]
$x_A=OH$
On a
$OA^2=OH.OC$ soit  $OH = \dfrac{OA^2}{OC}=\dfrac{R^2}{\dfrac{dR}{R-r}}= \dfrac{R^2(R-r)}{dR}=\dfrac{R(R-r)}{d}$

Quant à l'ordonnée $y_A=AH$, je fais appel au théorème de Pythagore dans le triangle OAH rectangle en H
$OA^2=OH^2+AH^2$ d'où il vient $AH^2=R^2-\left(\dfrac{R(R-r)}{d}\right)^2=R^2-\dfrac{R^2(R-r)^2}{d^2}=R^2\left(1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}\right)$

Et $y_A=R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

On retrouve les coordonnées données par JPP.

Pour celles de B, je vais considérer l'homothétie de centre C et de rapport $k =\dfrac R r$ qui transforme le triangle BO'H' en le triangle AOH :
$O'H'=\dfrac{OH}{k}=\dfrac{\dfrac{R(R-r)}{d}}{\dfrac R r}=\dfrac{r(R-r)}{d}$

D'où $x_B=d+O'H'=d+\dfrac{r(R-r)}{d}$

Pour $y_B$ :
$y_B=\dfrac{y_A}{k}=y_A\times \dfrac 1 k = R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\times \dfrac r R =  r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

@+

yoshi
06-03-2020 11:05:01

Bonjour,

jpp a écrit :

Sauf erreur ça devrait donner un truc dans le genre :

Trop modeste le jpp.
Ce qu'il a fait est parfait.
Pour l'édification de tous, en voici la une démonstration.
Soit le problème résolu :
200306110600346731.png
Soit $\alpha=\widehat{ACO}$
Je construis (BD)// (OC)

Par construction, $\widehat{ABD}=\widehat{ACO}=\alpha$ comme angles correspondants.
[AH] est la hauteur du triangle OAC rectangle en A.
[BH'] est la hauteur du triangle O'BC rectangle en B.

$\widehat{OAH}=\widehat{ABD}=\alpha$ Puisqu'ils ont le même complément l'angle $\hat O$ (ou encore angles à côté perpendiculaires).
Idem pour $\widehat{O'BH'}=\alpha$
ODBO' est un parallélogramme : (OD) // (O'B) et OD =O'D

Donc $DB = OO'=d$ et  $AD = R-r$

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABD :
$BD^2=DA^2+AB^2$ d'où $d^2=(R-r)^2+AB^2$
D'où $AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$

Dans le triangle rectangle AOH :
$x_A=OH$
$\sin \alpha=\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{x_A}{R}$ d'où  $x_A=R\sin \alpha$   ;    $\cos \alpha =\dfrac{AH}{OA}=\dfrac{y_A}{R}$ d'où $y_A=R\cos \alpha $

On va chercher la valeur de $\sin \alpha$ et $\cos \alpha$ dans le triangle rectangle AOB :
$\sin \alpha = \dfrac{AD}{DB}= \dfrac{R-r}{d}$

$\cos \alpha= \dfrac{AB}{DB}= \dfrac{\sqrt{d^2-(R-r)^2}}{d}=\sqrt{\dfrac{d^2-(R-r)^2}{d^2}}=\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

Coordonnées de A :

$\left(\dfrac{R(R-r)}{d}\,;\,R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\right)$

----------------------------------------------------

$x_B=OH'=OO'+O'H'$
$y_B=BH'$
Calcul de OH' et BH' dans le triangle O'BH' rectangle en O.
$O'H'=r\sin\alpha =  \dfrac{r(R-r)}{d}$  d'où   $x_B = d+\dfrac{r(R-r)}{d}$

$BH'=r\cos\alpha = r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

Coordonnées de B

$\left(d+\dfrac{r(R-r)}{d}\,;\,r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\right)$

Mes formules sont justes mais comme souvent trop compliquées.
JPP remporte la palme d'or avec ces formules...

Maintenant, à mes moments perdus, je vais rechercher d'autres méthodes en partant du point C dont les coordonnées sont :
$\left(\dfrac{dR}{R-r}\,;\, 0\right)$

@+

yoshi
05-03-2020 19:21:44

Bonsoir,

Schéma de construction ici :
Les résultats des calculs suivront (enfin, j'espère) en utilisant exclusivement R, r, d (= distance des centres).
https://www.cjoint.com/c/JCfsq02WVzW
C est l'intersection de (AB) avec (OO1)
D est le milieu de (O1C) et le centre du cercle rouge qui coupe le cercle de centre O1 en E, le premier point cherché
Formules demain...
Ce soir, trop dangereux : trop de risques d'erreurs de calcul littéral.

J'ai l'équation des cercles de centre M et O1...
Elles sont justes.
Reste plus qu'à trouver l'abscisse du point d'intersection E, puis celle du point de tangence de (CE) avec le cercle (O)
J'ai commencé le calcul, j'ai bien une seule abscisse...
Pas le courage de continuer ce soir...

@+

[EDIT]
Après vérification des résultats que j'obtiens pour le E de mon dessin avec la formule de jpp : ça colle...
Aucune importance, je continuerai demain quand même, je n'aime pas laisser un travail inachevé.

Chapeau jpp.


Si le demandeur le souhaitait, je pourrais lui fournir un petit script Python demandant R,r, d (=AB) et donnant les résultats avec arrondi à la précision souhaitée.

jpp
05-03-2020 18:28:51

salut ,

Sauf erreur ça devrait donner un truc dans le genre :
t étant l'angle de la tangente (ab) avec l'axe Ox 
r & R  sont les rayons respectifs des petit et grand cercle .       

[tex]ab = \sqrt{AB^2 - (R - r)^2}[/tex]

[tex]X_a = R.\sin{t} = \frac{R.(R-r)}{AB}[/tex]

[tex]Y_a = R.\cos{t} = R.\sqrt{1 - \frac{(R-r)^2}{AB^2}}[/tex]   

[tex]X_b  = AB + r.\sin{t} = AB + \frac{r.(R-r)}{AB}[/tex]   

[tex]Y_b = r.\cos{t} = r.\sqrt{1 - \frac{(R - r)^2}{AB^2}} [/tex]

maximeneko
05-03-2020 09:03:49

bonjour à tous.
je suis graphiste et je fais un peu de programmation. je viens vous demander votre aide.
j'aurais besoin de trouver les coordonnées de deux points (a et b) en fonction de la tangente commune de deux cercles et de leur distance.
d'avance merci
coordonnees inconnues

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