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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

dsb
02-03-2019 16:44:27

Bonsoir

Tout a une fin et c'est le cas de ce sujet là en le terminant avec ce dernier post

Au lieu d'utiliser ma vieille Elektronika B3-34

ci dessous les codes sur T-nspire

Dans le premier code on peut y placer autant de fonctions continues et strictement monotones que l'on veut

J'en ai placé deux mais je ne poste pas leurs codes (c'est à chacun de choisir ce qu'il veut)

yu0i.png

kz2w.png
njdq.png

nt54.png

dsb
28-02-2019 17:42:23

LoL l'écriture n'importenawak des limites (je l'avais sous les yeux mais comme souvent par flemmardise  je passe d'une ligne à l'autre en copiant la ligne d'avant j'écris des conneries)

bon j'ai édité

dsb
28-02-2019 09:09:44

Edit faute d'orthographe (mince encore!!)+coquille il fallait écrire n pour la valeur des deux limites
+LoL l'écriture bordélique des limites (je l'avais sous les yeux)

Bon alors c'est une horreur pour la lecture mais pour une petite Elektronika B3-34 de l'ère Soviétique c'est rien du tout et encore moins pour les machines à calculer actuelles

Formulation des deux suites adjacentes [tex]\left(a_n\right)[/tex] et [tex]\left(b_n\right)[/tex]  qui vérifient 1)2)
1) [tex]\  \forall i\in \mathbb {N} \ :\ \left( a\leq a_i\leq a_{i+1}\leq n\leq b_{i+1}\leq b_i\leq b \right)[/tex]
2) [tex]   \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} a_i = n \  [/tex] et  [tex] \   \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} b_i = n [/tex] 

[tex]a_0=a[/tex]
[tex]a_{i+1}=\alpha _{i+1}\beta _{i+1}c_{i+1}+\left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2d_{i+1}[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\alpha _{i+1}\epsilon _{i+1}d_{i+1}[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2\alpha _{i+1}c_{i+1}[/tex]
[tex]+ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\beta _{i+1}\  .\  K[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\epsilon _{i+1}\  .\  L[/tex]

[tex]b_0=b[/tex]
[tex]b_{i+1}=\alpha _{i+1}\beta _{i+1}d_{i+1}+\left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2c_{i+1}[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\epsilon _{i+1}c_{i+1}[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2-1\right)^2\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\beta _{i+1}d_{i+1}[/tex]
[tex]+ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\left(\epsilon _{i+1}-1\right)^2\left(\left(\alpha _{i+1}-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2-1\right)^2\left(\beta _{i+1}-1\right)^2\alpha _{i+1}\  . \  M[/tex]
[tex]+\ \left(\alpha _{i+1}\beta _{i+1}-1\right)^2\alpha _{i+1}\epsilon _{i+1}\   .\  N[/tex]

avec

[tex]K\  =\   \left(t.g\left(m,f\left(a_i+\dfrac {d_{i+1}-a_i}{2}\right)\right)+\left(t-1\right)^2g\left(f\left(a_i+\dfrac {d_{i+1}-a_i}{2}\right),m\right)\right)\left(a_i+\dfrac {d_{i+1}-a_i}{2}\right)[/tex]
[tex]+\  \left(t.g\left(m,f\left(a_i+\dfrac {d_{i+1}-a_i}{2}\right)\right)+\left(t-1\right)^2g\left(f\left(a_i+\dfrac {d_{i+1}-a_i}{2}\right),m\right)-1\right)^2a_i [/tex]

[tex]L\  =\  \left(t.g\left(m,f\left(a_i+\dfrac {c_{i+1}-a_i}{2}\right)\right)+\left(t-1\right)^2g\left(f\left(a_i+\dfrac {c_{i+1}-a_i}{2}\right),m\right)\right)\left(a_i+\dfrac {c_{i+1}-a_i}{2}\right)[/tex]
[tex]+\  \left(t.g\left(m,f\left(a_i+\dfrac {c_{i+1}-a_i}{2}\right)\right)+\left(t-1\right)^2g\left(f\left(a_i+\dfrac {c_{i+1}-a_i}{2}\right),m\right)-1\right)^2a_i [/tex]

[tex]M\  =\   \left(t.g\left(f\left(c_{i+1}+\dfrac {b_i-c_{i+1}}{2}\right),m\right)+\left(t-1\right)^2g\left(m,f\left(c_{i+1}+\dfrac {b_i-c_{i+1}}{2}\right)\right)\right)\left(c_{i+1}+\dfrac {b_i-c_{i+1}}{2}\right)[/tex]
[tex]+\  \left(t.g\left(f\left(c_{i+1}+\dfrac {b_i-c_{i+1}}{2}\right),m\right)+\left(t-1\right)^2g\left(m,f\left(c_{i+1}+\dfrac {b_i-c_{i+1}}{2}\right)\right)-1\right)^2b_i [/tex]

[tex]N\  =\   \left(t.g\left(f\left(d_{i+1}+\dfrac {b_i-d_{i+1}}{2}\right),m\right)+\left(t-1\right)^2g\left(m,f\left(d_{i+1}+\dfrac {b_i-d_{i+1}}{2}\right)\right)\right)\left(d_{i+1}+\dfrac {b_i-d_{i+1}}{2}\right)[/tex]
[tex]+\   \left(t.g\left(f\left(d_{i+1}+\dfrac {b_i-d_{i+1}}{2}\right),m\right)+\left(t-1\right)^2g\left(m,f\left(d_{i+1}+\dfrac {b_i-d_{i+1}}{2}\right)\right)-1\right)^2b_i [/tex]

[tex] g: \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \{0,1\} [/tex] une application définie par [tex] g\left( x , y \right) = \left\lfloor\dfrac{2 \left\lfloor\dfrac{x+|x|+|y|+1}{y+|x|+|y|+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{x+|x|+|y|+1}{y+|x|+|y|+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor[/tex]

[tex] t = g\left( f\left( b \right) , f\left( a \right) \right)[/tex]

[tex]\left( c_n \right) [/tex] et [tex]\left( d_n \right) [/tex] deux suites définies par [tex]c_0 = a [/tex] , [tex] d_0 = b[/tex]

[tex]c_{i+1} = a_i + \dfrac {\left| f\left( a_i \right) - m \right|.\left( b_i - a_i \right)}{\left| f\left( b_i \right) - f\left( a_i \right) \right|}[/tex] , [tex]d_{i+1} = b_i + \dfrac {\left| f\left( b_i \right) - m \right|.\left( a_i - b_i \right)}{\left| f\left( a_i \right) - f\left( b_i \right) \right|}[/tex]

[tex]\left( \epsilon_n \right)[/tex] une suite définie par [tex]\epsilon _0 = 1[/tex]

[tex]\epsilon _i = \left( g\left( c_i,d_i \right) -1 \right)^2 [/tex]

[tex]\left( \alpha _n \right) [/tex] et [tex]\left( \beta _n \right) [/tex] deux suites définies par

[tex]\alpha _i = t . g\left( m,f\left( c_i \right)  \right) + \left( t - 1 \right)^2 . g\left( f\left( c_i \right) , m \right) [/tex]

[tex]\beta _i = t . g\left( f\left( d_i \right) , m \right) + \left( t - 1 \right)^2 . g\left( m , f\left( d_i \right) \right)  [/tex]

dsb
27-02-2019 23:31:26

La formulation des suites [tex]\left(a_n\right)[/tex] et [tex]\left(b_n\right)[/tex]

est une horreur

mais se calcule très bien par une petite machine programmable sans prétention

c'est avec une machine toute mignonne que j'ai fait les calculs précédents
une vieille Electronika B3-34 de l'ère Soviétique (1985)
ifop.png
Tout ça pour dire que la technologie soviétique c'était pas de la camelote

Bon sinon la démonstration n'a rien de très méchante (elle est juste chiante à écrire)

par contre je posterai la formulation générale demain (avec sa modification évidemment)
là je n'en suis qu'à la moitié
mais comme je refais au propre tout ce que j'ai écris au stylo alors autant le faire profiter ici à celui que ça intéresse
(évidemment c'est une opinion subjective que de dire que telle ou telle chose est intéressante ou pas)

dsb
27-02-2019 20:09:40

Evidemment on peut améliorer la formulation générale pour qu'elle donne un meilleur résultat

L'idée de base étant la même : la démonstration est valable pour toute fonction continue strictement monotone
sur l'intervalle [tex]I[/tex]

en reprenant l'exemple précédent avec la fonction [tex]M\left(x\right)[/tex]

on peut comparer 

[tex]a=1[/tex]
[tex]b=10[/tex]
[tex]m=3[/tex]

Alors [tex]M\left(6.1428088984...\right)=3[/tex]
donc [tex]n=6.14280889841...[/tex]


[tex]a_0=1\  [/tex]
[tex]b_0=10\  [/tex]
---
[tex]a_1=3.7688839388\  [/tex]
[tex]b_1=6.5377678777...\  [/tex] un chiffre exact pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]
---
[tex]a_2=4.9639785330\  [/tex]
[tex]b_2=6.1590731273...\  [/tex]  deux chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]
---
[tex]a_3=5.5535498058\  [/tex]
[tex]b_3=6.1431210786...\  [/tex] trois chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
---
[tex]a_4=5.8481807972\  [/tex]
[tex]b_4=6.1428117886...\  [/tex] cinq chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]   
---
[tex]a_5=5.9954948544\  [/tex]
[tex]b_5=6.1428089115...\  [/tex] sept chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
---
[tex]a_6=6.0691518764\  [/tex]
[tex]b_6=6.1428088984...\  [/tex] onze chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et un pour [tex]a_i[/tex] 
---
[tex]a_7=6.1428088984\  [/tex]
[tex]b_7=6.1428088984...\  [/tex] onze chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et [tex]a_i[/tex]

dsb
26-02-2019 21:45:56

Salut

Un petit truc sympa

Soit [tex]f[/tex] est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [tex] I [/tex]

par conséquent  [tex]f[/tex] vérifie 1. et 2.

1.
[tex]\forall \left( x , y \right) \in I\times I : \left( \left( x < y \Rightarrow f\left(x\right) < f\left(y\right) \right) \bigvee \left( x < y  \Rightarrow f\left(x\right) > f\left(y\right) \right) \right)[/tex]
2.
[tex]\forall x \in I , \forall \epsilon > 0 , \exists \eta > 0 , \forall y \in I : \left( \left| y - x \right| \leq \eta \Rightarrow \left| f\left( y \right) - f\left( x \right) \right| \leq \epsilon \right)[/tex]

Soient [tex] a,b [/tex] deux réels distincts de [tex] I [/tex] et tels que [tex] a < b [/tex]

Soit  [tex]m[/tex] un réel tel qu'il soit l'image par  [tex]f[/tex]  d'un réel   [tex]n[/tex] vérifiant [tex]a<n<b[/tex]

Par conséquent [tex]f\left(n\right)=m[/tex]

________________________

Ecrire de façon générale (i.e sans connaitre exactement qu'elle est cette fonction [tex]f[/tex] ), deux suites adjacentes [tex]\left(a_n\right)[/tex] et [tex]\left(b_n\right)[/tex]  qui vérifient 1) et 2)
1) [tex]\  \forall i\in \mathbb {N} \ :\ \left( a\leq a_i\leq n\leq b_i\leq b \right)[/tex]
2) [tex]\  \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} a_i = \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} b_i = n [/tex] 

par exemple j'ai pris la fonction [tex]M\left(x\right)[/tex]
elle est continue et monotone sur [tex]\mathbb {R}^*_+[/tex]
[tex]M(x)=M\left(1,x\right)[/tex] est la moyenne arithmético-géométrique de [tex]1[/tex] et [tex]x[/tex]

pour les deux suites j'ai pris
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=10[/tex]
[tex]m=3[/tex]

Alors [tex]M\left(6.142808898...\right)=3[/tex]
donc [tex]n=6.14280889841...[/tex]

la suite [tex]a_i=1[/tex] de [tex]i=0[/tex] jusqu'à  [tex]i=13[/tex]

[tex]b_0=10\  [/tex]
[tex]b_1=6.53776787777...\  [/tex] un chiffre exact pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]
[tex]b_2=6.1911806743...\  [/tex]  deux chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]
[tex]b_3=6.14886297749...\  [/tex] trois chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_4=6.1435686664...\  [/tex] trois chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]   
[tex]b_5=6.14290427934...\  [/tex] quatre chiffres exacts pour  [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_6=6.142820873...\  [/tex] cinq chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_7=6.14281040176...\  [/tex] cinq chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex]   
[tex]b_8=6.14280908714...\  [/tex] six chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_9=6.1428089221...\  [/tex] sept chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_{10}=6.14280890138...\  [/tex] sept chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_{11}=6.142808 89878...\  [/tex] dix chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_{12}=6.142808 89845...\  [/tex] onze chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]b_{13}=6.142808 89841...\  [/tex] douze chiffres exacts pour [tex]b_i[/tex] et aucun pour [tex]a_i[/tex] 
[tex]a_{14}=6.142808 89841...\  [/tex] plus de douze chiffres exacts pour [tex]a_i[/tex] et [tex]b_i[/tex]
[tex]b_{14}=6.142808 89841...\  [/tex] plus de douze chiffre exacts pour [tex]a_i[/tex] et [tex]b_i[/tex]
[tex]b_{15}=6.142808 89841...\  [/tex]  limite de ma machine
[tex]b_{15}=6.142808 89841...\  [/tex]  limite de ma machine

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