Formulaire de Mathématiques : Transformée de Laplace
Définition : Si $f$ est une fonction localement intégrable, définie sur 
,
on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction :
En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout $z$. On appelle abscisse de convergence absolue de la transformée de Laplace le réel :
,
on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction :
. On montre alors que, si 
, l'intégrale 
converge absolument. 
est alors une fonction définie, et même holomorphe, dans le demi-plan 
.
Transformées de Laplace usuelles :
Règles de calcul :
Soit $f$ (resp. $g$) une fonction, $F$ (resp. $G$) sa transformée de Laplace, d'abscisse de convergence $\sigma$ (resp. $\sigma'$)
$$
\begin{array}{c|c|c}
\textrm{fonction}&\textrm{tranformée}&\textrm{abscisse de }\\
&\textrm{de Laplace}&\textrm{convergence}\\
\hline
f(kt)&\frac1kF\left(\frac zk\right)&k\sigma\\
e^{at}f(t)&F(z-a)&\sigma-\Re e(a)\\
f(t-t_0)&e^{-zt_0}F(z)&\sigma\\
t^n f(t)&(-1)^n F^{(n)}(z)&\sigma\\
f\star g&F(z)G(z)&\sup(\sigma,\sigma')\\
f'&zF-\lim_{0^+}f&\sigma\\
t\mapsto\int_0^t f(x)dx&\frac{F(z)}z&\max(0,\sigma)\\
\frac{f(t)}{t}&\int_x^{+\infty}F(u)du&x>\sigma
\end{array}$$
Propriétés :
Sous réserve de certaines conditions sur la fonction f, on a :
Inversion de la transformée de Laplace :
Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les règles précédentes, en lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose, et on cherche dans les tables.
On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace.
Théorème (formule d'inversion de Bromvitch) : Soit $F(z)=F(x+iy)$, analytique pour $x>x_0$, une fonction sommable en $y$, pour tout $x>x_0$.
Alors $F$ est une transformée de Laplace, dont l'original est donné par :
Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.