Formulaire de Mathématiques : Fonctions Gamma et Beta
Définition - Premières propriétés
Pour z un complexe de partie réelle strictement positive, on définit la fonction Gamma par :
La fonction
est analytique pour Re(z)>0. Sa dérivée n-ième est définie par :
Relations fonctionnelles - Valeurs particulières
En particulier :
On a aussi :
D'où :
La fonction Beta
On appelle fonction Beta la fonction
$$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,\ \Re e(x)>0,\ \Re e(y)>0.$$
La fonction Beta peut aussi être définie par :
Elle est symétrique en les deux variables :
Autres formules
Formule des compléments :
Formule d'Euler :
Produit infini de Weierstrass :
où
est la constante d'Euler.
Formule de duplication :
Développement asymptotique :
En particulier, ceci redonne la formule de Stirling :