$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th
Formulaire - Nombres complexes et trigonométrie
Formule de Moivre
Pour tout réel 
et tout entier n, alors
Cette formule permet par exemple d'exprimer $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ en fonction de puissances de $\cos(x)$ et/ou $\sin(x)$.
Exemple : On souhaite exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$. Nous avons :
$$\cos(3x)=\mathrm{Re}(\cos(3x)+i\sin(3x))=\mathrm{Re}\big((\cos x+i\sin x)^3\big).$$
Développons en appliquant la formule du binôme :
$$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3(x)+3i\cos^2(x) \sin (x) -3\cos (x) \sin^2(x)-i\sin^3(x).$$
Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ :
$$\cos(3x)=\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)=4\cos^3(x)-3\cos x.$$
Formule d'Euler
Pour tout réel x,
Ces formules permettent de linéariser $\cos^n(x)$ et $\sin^n(x)$, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction des $\cos(px)$ et $\sin(px)$,
pour $1\leq p\leq n$.
Exemple :
\begin{align*}
\sin^4(x)&=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\right)^4\\
&=\frac 1{16}\left(e^{4ix}-4e^{i2x}+6-4e^{-2ix}+e^{-i4x}\right)\\
&=\frac 18\left(\cos(4x)-4\cos(2x)+3\right)
\end{align*}
où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.
Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse. Le calcul précédent permet ainsi d'obtenir aisément une primitive de $\sin^4(x)$....
