$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Module et argument d'un nombre complexe

Module d'un complexe

On appelle module du nombre complexe $z=a+ib$ le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Le module vérifie les propriétés suivantes :

  • $|z\times z'|=|z|\times |z'|$.
  • $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire).
  • $|z|=0$ si et seulement si $z=0$.
  • Si $z$ est réel, son module vaut sa valeur absolue.
Argument d'un nombre complexe
Théorème : Si $z$ est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel $\theta$ tel que $$z=|z|\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big).$$ De plus, $\theta$ est unique à $2\pi$ près.

Tout nombre $\theta$ qui convient s'appelle un argument de $z$, noté $\textrm{arg}(z)$.

Exemple : Déterminons un argument de $1+i$ : $$1+i=\sqrt 2\left(\frac1{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 2}i\right)=\sqrt 2\left(\cos\left(\frac\pi 4\right)+ i\sin\left(\frac\pi 4\right)\right).$$

L'argument vérifie les propriétés suivantes :

Exponentielle complexe

Pour $\theta$ un réel, on définit l'exponentielle complexe par : $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).$$ Si $z$ est un nombre complexe, et $\theta$ est l'un de ses arguments, alors : $$z=|z|e^{i\theta}.$$ Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de $z$. En application des différentes formules sur le module et l'argument, on a :

La forme trigonométrique des complexes est donc parfaitement adaptée quand il s'agit de traiter des exercices où interviennent de façon cruciale des produits.