$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Schwarz (fonctions différentiables)

Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\mathbb R^p$ de classe $\mathcal C^2$ sur $U$. Alors, pour tout $a$ dans $U$ et tous $i,j$ dans $\{1,..,n\}$ on a $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(a).$$

Autrement dit, ce théorème dit que pour les fonctions suffisament régulières, l'ordre de dérivation par rapport aux variables n'a pas d'importance. Il suffit en fait que les dérivées partielles existent au voisinage d'un point $a$ et soient continues en a pour pouvoir intervertir l'ordre de dérivation.

En revanche, sans l'hypothèse de continuité au point $a$, le résultat du théorème devient faux. Par exemple, si $$f(x,y)=\frac {xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$$ alors les dérivées partielles d'ordre 2 de $f$ en $(0,0)$ existent, mais $$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1\textrm{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1.$$ Ce contre-exemple est dû à Peano.

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