Théorème de Rolle
- $f$ est continue sur $[a,b]$
- $f$ est dérivable sur $]a,b[$
- $f(a)=f(b)$
Le théorème de Rolle permet d'établir le théorème des accroissements finis, et à ce titre il est à la base des relations liant la croissance d'une fonction et le signe de sa dérivée. Il est aussi lié à des problèmes de séparation de racines de polynômes.
Exemple : Soit $ P\in\mathbb {R}[X]$ scindé et $ \lambda\in\mathbb {R}$. Alors $ P'+\lambda P$ est scindé.
En effet, soit $m$ le degré de $P$, $\alpha_1<\dots<\alpha_p$ ses racines, $\alpha_i$ étant de multiplicité $ m_i$.
L'hypothèse $P$ scindé se traduit par $ \displaystyle\sum_{i=1}^{p}m_i=m$. Chaque $ \alpha_i$ est encore racine de $P'$, de multiplicité
$m_i-1$, étant entendu qu'une racine de multiplicité nulle n'est
plus une racine. Pour $ P'+\lambda P$, on a donc trouvé $ \sum_{i=1}^p (m_i-1)=m-p$ racines, comptées avec leur multiplicité. Il reste
à en trouver $p-1$ différentes des $ \alpha_i$. Posons $ f(t)=P(t)\exp(\lambda t)$, de sorte que $f'(t)=(p'+\lambda P)\exp(\lambda t)$.
Pour
$i\in\{1,\dots,p-1\}$, on a $ f(\alpha_i)=f(\alpha_{i+1})=0$, et donc, par le théorème de Rolle, il existe $\beta_i\in]\alpha_i,\alpha_{i+1}[,\ f'(\beta_i)=0$
soit encore $ (P'+\lambda P)(\beta_i)=0$. On a trouvé les racines manquantes!