Opérateur différentiel
On appelle opérateur différentiel linéaire d'ordre (inférieur ou égal à) $q$ toute application linéaire $$f\mapsto \sum_{p\leq q}\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^n \alpha_{j_1,\dots,j_p}(x)\frac{\partial^p f}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_p}}$$ de $C^q(U,\mathbb R^d)$ dans $C^0(U,\mathbb R^d)$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$ et les $\alpha_{j_1,\dots,j_p}$ sont des fonctions continues sur $U$. On note en général l'opérateur $$\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^n \alpha_{j_1,\dots,j_p}\frac{\partial^p }{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_p}}.$$ Par le théorème de Schwarz, il peut encore s'écrire $$\sum_{p_1+\cdots+p_n\leq q}\beta_{p_1,\dots,p_m}\frac{\partial^{p_1+\cdots+p_n}}{\partial x_1^{p_1}\cdots \partial x_m^{p_m}}.$$
Exemples :
- opérateur d'Euler $$E=\sum_{j=1}^n x_j\frac{\partial }{\partial x_j}.$$ Il intervient notamment dans l'étude des applications positivement homogènes.
- opérateur de Riemann $$R=\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}.$$ Une fonction $f$ de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$ vérifiant $Rf=0$ est en fait dérivable par rapport à la variable complexe et donc analytique. En particulier, elle est automatiquement indéfiniment dérivable.
- laplacien sur $\mathbb R^n$ $$\Delta=\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 }{\partial x_j^2}.$$ Les solutions de $\Delta(f)=0$ sont les fonctions harmoniques.
- d'Alembertien sur $\mathbb R^{n+1}=\mathbb R\times\mathbb R^n$ $$\square =\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\frac1{c^2}\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}.$$ L'équation $\square(f)=0$ s'appelle l'équation des ondes.
- opérateur de la chaleur ou opérateur de diffusion $$F=\frac{\partial}{\partial t} -k\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}.$$ L'équation $Ff=0$ s'appelle équation de la chaleur.
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