$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Lois de De Morgan

Les lois de De Morgan sont des propriétés liant les opérations de passage au complémentaire, de réunion ou d'intersection de parties d'un même ensemble. Ainsi, si $A$ et $B$ sont deux parties d'un même ensemble $E$, alors on a :

  • Le complémentaire de la réunion de $A$ et $B$ est l'intersection du complémentaire de $A$ et du complémentaire de $B$ : $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c.$
    On peut visualiser la première loi de De Morgan sur le dessin ci-dessus : le complémentaire de $A\cup B$ est l'intersection de la partie hachurée en vert et de la partie colorée en violet.
  • Le complémentaire de l'intersection de $A$ et $B$ est la réunion du complémentaire de $A$ et du complémentaire de $B$ : $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$
    On peut visualiser la deuxième loi de De Morgan sur le dessin ci-dessus : le complémentaire de $A\cap B$ (la partie colorée en orange) est la réunion de la partie hachurée en vert et de la partie colorée en violet.

Il existe aussi des lois analogues en logique liant les opérations logiques non, et, ou. Si $p$ et $q$ sont deux propositions, alors $\textrm{non} (p\textrm{ ou }q)$ est équivalent à $\textrm{non } p\textrm{ et non }q$. De même, $\textrm{non} (p\textrm{ et }q)$ est équivalent à $\textrm{non } p\textrm{ et non }q.$

En fait, dans les deux cas, ces propriétés sont liées à la structure d'algèbre de Boole sous-jacente...

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