Elément neutre et régularité dans les structures algébriques
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne T. Un élément e de E vérifiant xTe=eTx=x pour tout x de E est dit élément neutre pour la loi T. On dit encore que le magma (E,T) est unifère.
Dans un tel magma unifère, un élément x est dit symétrisable
- à gauche s'il existe x' dans E tel que xTx'=e.
- à droite s'il existe x'' dans E tel que x''Tx=e.
Il sera dit simplement symétrisable s'il est symétrisable à gauche et à droite, et si x'=x''.
Un élément x d'un magma E est dit régulier
- à gauche si pour tous a,b de E, xTa=xTb implique a=b.
- à droite si pour tous a,b de E, aTx=bTx implique a=b.
Il sera dit simplement régulier s'il est régulier à droite et à gauche.
Parfois, on appelle semi-groupe un magma commutatif, associatif, unifère, dans lequel tout élément est régulier (ouf!).