Ensemble triadique de Cantor
L'ensemble triadique de Cantor est construit de la façon suivante : prenez l'intervalle $[0,1]$, coupez-le en 3 segments de taille égale et retirez-lui le segment du milieu. Il reste 2 segments. Pour chaque segment, on réitère le procédé, à savoir on coupe en 3 et on retire le segment du milieu. On répète ainsi l'algorithme un nombre infini de fois. L'ensemble résultant est l'ensemble triadique de Cantor. Sur le dessin suivant, où on montre les premières étapes de la construction de l'ensemble de Cantor, on comprend pourquoi cet ensemble porte aussi le nom de "poussières de Cantor".
Il existe de nombreuses autres façons de décrire l'ensemble de Cantor : l'une des plus commodes est de dire qu'il s'agit des réels de [0,1] qui admettent un développement en base 3 ne comportant que des 0 ou des 2. Cet ensemble est source d'un grand nombre d'exemples ou de contre-exemples. En effet, l'ensemble de Cantor
- est compact (c'est un fermé borné), et aucun de ses points n'est isolé.
- est d'intérieur vide et totalement discontinu : en clair, il est plein de trous et ne contient aucun intervalle non réduit à un point.
- peut être mis en bijection avec $\mathbb R$ : en particulier, il n'est pas dénombrable.
- est de mesure (de Lebesgue) nulle.
- est un objet fractal, dont la dimension de Hausdorff est $\ln(2)/\ln(3)$.
- est homéomorphe à l'espace $\{0,1\}^{\mathbb N},$ muni de la topologie produit.
Enfin, signalons cette propriété étonnante : tout espace métrique compact est image de l'ensemble de Cantor par une application continue.