Théorème de transfert

Dénombrements et probabilités -- Probabilités -- Variables aléatoires

Forme abstraite
  Le théorème de transfert est un théorème fondamental en théorie des probabilités qui permet d'exprimer l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire $X$ en fonction d'une intégrale contre la loi de $X$. Sa forme générale est la suivante :
Théorème : Soit $(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)$ un espace de probabiblités et soit $X:(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\to\mathbb R $ une variable aléatoire dont la loi est notée $\mathbb P_X$. Alors :
  1. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R_+$ mesurable, on a $$\int_{\Omega}\varphi(X(\omega))d\mathbb P(\omega)=\int_{\mathbb R}\varphi(x)d\mathbb P_X(x).$$
  2. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to \mathbb C$ mesurable, alors $\varphi\circ X$ est intégrable par rapport à la mesure $d\mathbb P$ si et seulement si $\varphi$ est intégrable par rapport à la mesure $d\mathbb P_X$, et dans ce cas $$\int_{\Omega}\varphi(X(\omega))d\mathbb P(\omega)=\int_{\mathbb R}\varphi(x)d\mathbb P_X(x).$$
Variable discrète
  Pour une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs par exemple dans $\mathbb N$, le théorème de transfert est simplement l'égalité plus simple suivante : $$\mathbb E(\varphi(X))=\sum_{n\geq 0}\varphi(n)\mathbb P(X=n).$$
Variable à densité
  Pour une variable aléatoire $X$ admettant une densité $f$, le théorème de transfert donne : $$\mathbb E(\varphi(X))=\int_{\mathbb R}\varphi(x)f(x)dx.$$

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