$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de transfert

Forme abstraite
  Le théorème de transfert est un théorème fondamental en théorie des probabilités qui permet d'exprimer l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire $X$ en fonction d'une intégrale contre la loi de $X$. Sa forme générale est la suivante :
Théorème : Soit $(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)$ un espace de probabiblités et soit $X:(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\to\mathbb R $ une variable aléatoire dont la loi est notée $\mathbb P_X$. Alors :
  1. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R_+$ mesurable, on a $$\int_{\Omega}\varphi(X(\omega))d\mathbb P(\omega)=\int_{\mathbb R}\varphi(x)d\mathbb P_X(x).$$
  2. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to \mathbb C$ mesurable, alors $\varphi\circ X$ est intégrable par rapport à la mesure $d\mathbb P$ si et seulement si $\varphi$ est intégrable par rapport à la mesure $d\mathbb P_X$, et dans ce cas $$\int_{\Omega}\varphi(X(\omega))d\mathbb P(\omega)=\int_{\mathbb R}\varphi(x)d\mathbb P_X(x).$$
Variable discrète
  Pour une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs par exemple dans $\mathbb N$, le théorème de transfert est simplement l'égalité plus simple suivante : $$\mathbb E(\varphi(X))=\sum_{n\geq 0}\varphi(n)\mathbb P(X=n).$$
Variable à densité
  Pour une variable aléatoire $X$ admettant une densité $f$, le théorème de transfert donne : $$\mathbb E(\varphi(X))=\int_{\mathbb R}\varphi(x)f(x)dx.$$