Famille totale
Dans un espace vectoriel normé $E$, une famille $(e_i)_{i\in I}$ est dite totale si l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans $E$.
Exemples :
- Dans l'espace $E$ des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme infinie, la famille $(x^n)_{n\in\mathbb N}$ est une famille totale. En effet l'espace vectoriel qu'elle engendre est l'ensemble des polynômes, qui est dense dans $E$ d'après le théorème de Weierstrass.
- Si $E$ est l'espace vectoriel des fonctions continues $2\pi$-périodiques muni de la norme infinie, la famille $(e^{inx})_{n\in\mathbb Z}$, est dense : l'espace vectoriel qu'elle engendre est l'ensemble des polynômes trigonométriques, qui est dense d'après le théorème de Fejér.
Dans un espace de Hilbert, on a une caractérisation des familles totales en terme d'orthogonal :
Théorème : Soit $E$ un espace de Hilbert. Une famille $(e_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $E$
est totale si et seulement si le seul vecteur orthogonal à tous les $e_i$ est le vecteur nul.
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