$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Torseur

Soit $\overrightarrow{\Omega}$ un vecteur de $\mathbb R^3$, $A$ un point de l'espace et $\vec V$ un vecteur de $\mathbb R^3$. On appelle torseur de résultante $\overrightarrow{\Omega}$ et de moment $\vec V$ en $A$ l'application qui à tout point $P$ de l'espace associe le vecteur $\overrightarrow{V_P}$ défini par $$\overrightarrow{V_P}=\vec V+\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{AP}.$$

Un torseur est équiprojectif : pour tous points $P,Q$ de l'espace, on a $$\langle\overrightarrow{V_P},\overrightarrow{PQ}\rangle=\langle \overrightarrow{V_Q},\overrightarrow{PQ}\rangle.$$ Réciproquement, on peut démontrer que tout champ de vecteurs équiprojectif est un torseur.

Plus généralement, dans un espace affine euclidien $E$, un champ de vecteurs $(\overrightarrow{V_P})_{P\in E}$ est équiprojectif si, pour tous $P,Q\in E$, $$\langle\overrightarrow{V_P},\overrightarrow{PQ}\rangle=\langle \overrightarrow{V_Q},\overrightarrow{PQ}\rangle.$$ On démontre alors qu'il existe un endomorphisme anti-symétrique $u$ tel que, pour tous $P,Q\in E$, $$\overrightarrow{V_Q}=\overrightarrow{V_P}+u(\overrightarrow{PQ}).$$