Théorèmes de Sylow
Si $G$ est un groupe fini, et $H$ un sous-groupe de $G$, le théorème de Lagrange assure que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$. A l'inverse, on peut se demander si, dans un groupe de cardinal $n$, il existe toujours un sous-groupe d'ordre $d$, où $d$ est un diviseur de $n$. Ce n'est pas le cas en général, mais Cauchy a prouvé que c'est vrai si $d$ est un entier premier $p$. Les théorèmes de Sylow sont des généralisations de ce théorème de Cauchy à des puissances de $p$.
Définition : Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Si $n=p^\alpha s$, où $p$ est premier, $\alpha\in\mathbb N$, $s\in\mathbb N^*$, avec $s$ et $p$ premiers entre eux,
on appelle $p$-sous-groupe de Sylow (ou simplement $p$-Sylow) de $G$ un sous-groupe de cardinal $p^\alpha$.
Théorème : Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n=p^\alpha s$, avec $p$ premier, $\alpha\in\mathbb N,$ $s\in\mathbb N^*$ et $s\wedge p=1$.
Alors :
- $G$ contient au moins un $p$-Sylow;
- tous les $p$-Sylow de $G$ sont conjugués;
- le nombre de $p$-Sylow est congru à 1 modulo $p$ et divise $s$.
Remarquons qu'un groupe d'ordre $p^n$ contient un sous-groupe d'ordre $p^r$ pour tout $0\leq r\leq n$. Ainsi, les théorèmes de Sylow constituent bien une extension du théorème de Cauchy.
Les théorèmes de Sylow sont des théorèmes importants pour étudier la structure
des groupes finis. Ils permettent notamment de les casser en groupes plus petits.
Ils sont démontrés par Ludwig Sylow dans le cas particulier des sous-groupes des groupes de permutation en 1872.
En réalité, en 1872, la notion formelle de groupe n'est pas encore définie. Elle ne le sera qu'en 1882, notamment
par Heinrich Weber, et en 1884, Georg Frobenius démontre les théorèmes de Sylow dans ce cadre.
Mais comme on sait que tout groupe fini
est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de permutations, la démonstration de Sylow recouvrait en fait tous les cas !
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