Théorème de Stolz
Le théorème de Stolz-Cesàro est un énoncé donnant une condition suffisante pour l'existence de la limite du quotient de deux suites. Il peut être vu comme une version discrète de la règle de l'Hospital, et est aussi une version plus générale du théorème de Cesàro.
Théorème : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels
telles que $(v_n)$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$. Si de plus
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{v_{n+1}-v_n}=\ell\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\},$$
alors $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=\ell.$$
En choississant $v_n=n$ et $u_n=\sum_{k=1}^n a_k$ où $(a_k)$ est une suite de nombres réels, on retrouve le lemme de Cesàro.
Il existe une autre version du théorème de Stolz-Cesàro, où les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers zéro :
Théorème : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels
telles que $(v_n)$ est strictement croissante et telles que $\lim_n u_n=\lim_n v_n=0.$ Si de plus
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{v_{n+1}-v_n}=\ell\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\},$$
alors $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=\ell.$$
Le premier de ces deux théorèmes apparaît dans un livre d'Otto Stolz en 1885
et est repris dans un article d'Ernesto Cesàro en 1888.
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