Solution (asymptotiquement) stable d'une équation différentielle
On considère une équation différentielle $y'=f(t,y)$ où $f:\mathbb R\times U\to\mathbb R^n$ est une fonction continue, et $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$.
On fixe $t_0$ un élément de $\mathbb R$. Pour tout $z\in U$, on note $t\mapsto y(t,z)$ la solution maximale de l'équation différentielle répondant à la condition de Cauchy $y(t_0)=z$. On fixe enfin $z_0$ un élément de $U$.
- Pour tout $z$ de $B(z_0,r)$, $t\mapsto y(t,z)$ est définie sur $[t_0,+\infty[$;
- Pour tout $z$ de $B(z_0,r)$ et tout $t>t_0$, on a $$\|y(t,z)-y(t,z_0)\|\leq C\|z-z_0\|.$$
Le cas le plus simple est celui d'un système autonome $y'=f(y)$, au voisinage d'un point critique que l'on peut toujours supposer être en 0, c'est-à-dire que l'on suppose $f(0)=0$. La fonction identiquement nulle est alors solution, et on peut étudier sa stabilité. On a le résultat suivant :
Dans le cas où on a simplement l'équation $y'=Ay$, où $A$ est une matrice (constante), on a la réciproque : la solution nulle est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle strictement négative. Si on s'intéresse à la stabilité, alors on peut autoriser $A$ à avoir des valeurs propres de partie réelle nulle. Mais leur multiplicité comme racine du polynôme minimal doit alors être égale à 1.