$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Sphère et Boule

En géométrie dans l'espace

En géométrie dans l'espace, on appelle sphère de centre $A$ et de rayon $R$ (réel strictement positif) l'ensemble des points $M$ de l'espace situés à une même distance $R$ de $A$. Si l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, l'équation de la sphère, de centre le point $A$ de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$ et de rayon R est : $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$$

Le volume de la sphère est alors donné par la formule $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, tandis que son aire latérale totale vérifie $A= 4\pi R^2$.

En topologie

Dans un espace métrique $(E,d)$ quelconque, on peut généraliser cette notion de sphère : si $x\in E$ et $r>0$, on appelle sphère de centre $x$ et de rayon $r$ l'ensemble des points $y$ de $E$ dont la distance à $x$ est exactement $r$ : $$S(x,r)=\{y\in E:\ d(x,y)=r\}.$$

Dans un espace métrique, une sphère peut ne pas être ronde, et même être un carré. Par exemple, si on munit $\mathbb R^2$ de ses 3 distances usuelles (cf l'article distance), les sphères ont les allures respectives suivantes :

Seule la sphère de la distance euclidienne est ronde!

On définir aussi une notion de boule ouverte et de boule fermée :

  • la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points de $E$ dont la distance à x est inférieure stricte à $r$ : $B(x,r)=\{y\in E:\ d(x,y)<r\}$ (c'est la partie en vert sur le dessin!).
  • la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points de $E$ dont la distance à $x$ est inférieure ou égale à $r$ : c'est donc la réunion de la boule ouverte et de la sphère! (en vert et noir sur le dessin!)

Lorsqu'on munit l'espace $E$ de la topologie induite par la distance $d$, une boule ouverte est un ouvert, une boule fermée est un fermé, et la sphère est un fermé.

Consulter aussi...