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Sous-variété de $\mathbb R^n$, immersion, submersion

Introduction

Il y a plusieurs moyens de décrire une courbe dans le plan. On peut la décrire implicitement, par une équation. Prenons l'exemple du cercle unité. Alors il est donné par l'équation $x^2+y^2-1=0$. On peut la décrire par un paramétrage : par exemple, le cercle unité est l'ensemble des points $(\cos t,\sin t)$ pour $t\in [0,2\pi]$. On peut la décrire par un graphe de fonctions, au moins localement : par exemple, la partie supérieure du cercle unité est l'ensemble des points $(x,f(x))$ où $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

La même situation se produit lorsqu'on considère un sous-espace vectoriel $F$ de $\mathbb R^n$. Il peut être décrit par une équation (si c'est un hyperplan) ou plus généralement par un ensemble d'équations. Il peut aussi être décrit par un paramétrage, en écrivant que ce sous-espace vectoriel est l'ensemble des $\lambda_1 u_1+\cdots+\lambda_p u_p$, où $(u_1,\dots,u_p)$ est une famille génératrice de $F$.

Les sous-variétés de $\mathbb R^n$ sont la généralisation à $\mathbb R^n$ des courbes de l'espace ou des courbes et surfaces de l'espace. Comme dans les exemples précédents, elles vont pouvoir être décrites de différentes façons.

Immersion
Définition : Soit $n,p\in\mathbb N^*$, $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$, $a\in U$ et $f:U\to\mathbb R^p$ une application de classe $\mathcal C^1$. On dit que $f$ est une immersion en $a$ si $df_a$ est injective.

Dans ce cas, on a $p\geq n$. Par exemple, l'application $t\in\mathbb R\mapsto (\cos t,\sin t)$ est une immersion en chacun de ses points.

On démontre que, à difféomorphisme sur les coordonnées à l'arrivée près, une immersion n'est rien d'autre que l'injection canonique. Plus précisément, si $f$ est une immersion en $a$, alors il existe un $\mathcal C^1$-difféomorphisme $\varphi$ défini sur un voisinage de $f(a)$ est à valeurs dans $\mathbb R^p$ tel que $\varphi^{-1}\circ f(x)=(x_1,\dots,x_n,0,\dots,0)$.

Submersion
Définition : Soit $n,p\in\mathbb N^*$, $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$, $a\in U$ et $f:U\to\mathbb R^p$ une application de classe $\mathcal C^1$. On dit que $f$ est une submersion en $a$ si $df_a$ est surjective.

Dans ce cas, on a $p\leq n$. Par exemple, l'application $(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto x^2+y^2-1$ est une submersion en tout point de $\mathbb R^2$, sauf $(0,0)$.

On démontre que, à difféomorphisme sur les coordonnées au départ près, une submersion n'est rien d'autre que la surjection canonique. Plus précisément, si $f$ est une submersion en $a$, alors il existe un $\mathcal C^1$-difféomorphisme $\varphi$ défini sur un voisinage de $a$ est à valeurs dans $\mathbb R^n$ tel que $f\circ\varphi(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_p)$.

Sous-variété
Théorème et définition : Soit $M$ une partie de $\mathbb R^n$. On dit que $M$ est une sous-variété de $\mathbb R^n$ de dimension $p$ et de classe $\mathcal C^k$ si l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée :
  1. définition implicite : pour tout $x$ de $M$, il existe un voisinage $U$ de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $f:U\to\mathbb R^{n-p}$ une $\mathcal C^k$-submersion en $x$ tels que $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$.
  2. définition par paramétrage : pour tout $x$ de $M$, il existe un voisinage $U$ de $x$ dans $\mathbb R^n$ et un voisinage $V$ de $0$ dans $\mathbb R^p$, $f:V\to\mathbb R^n$ une $\mathcal C^k$-immersion en $0$ envoyant $0$ sur $x$ et tels que $f_{|V}$ est un homéomorphisme de $V$ sur $U\cap M$.
  3. définition par redressement : pour tout $x$ de $M$, il existe des voisinages respectifs $U$ de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $V$ de $0$ dans $\mathbb R^n$, $f:U\to V$ un $\mathcal C^k$-difféomorphisme envoyant $x$ sur $0$ et tel que $f(U\cap M)=V\cap (\mathbb R^p\times \{0\})$.
  4. définition par paramétrage : pour tout $x$ de $M$, il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $\mathbb R^p$, un voisinage $U$ de $x$ dans $\mathbb R^n$ et une application $f:V\to U\cap M$ bijective de classe $\mathcal C^k$ telle que $df_0$ est injective.

La dernière définition (par redressement) signifie qu'une partie $M$ de $\mathbb R^n$ est une sous-variété de dimension $p$ si on peut tordre (via un difféomorphisme) le voisinage de chacun de ses points de sorte que $M$ soit envoyé sur un morceau d’un sous-espace de dimension $p$.

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