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Bibm@th

Sous-espaces vectoriels

Soit $E$ un espace vectoriel. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si elle est elle-même un espace vectoriel. Il existe une caractérisation pratique de cela : $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :

  1. $F$ n'est pas vide.
  2. Pour tous $x$ et $y$ de $F$, alors $x+y$ est dans $F$.
  3. Pour tout $x$ de $F$, et tout scalaire $a$, $ax$ est dans $F$.

Autrement dit, une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel si elle n'est pas vide, et est stable par combinaison linéaire.

Exemples :
  • $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y-3z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$.
  • $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y-3z-2=0\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$. En effet, $(1,1,0)$ et $(2,0,0)$ sont deux éléments de $F$, mais leur somme $(3,1,0)$ n'est plus dans $F$.
  • $F=\{(x,y)\in\mathbb R^3;\ y=x^2\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\in\mathbb R^2$. En effet, $(1,1)$ et $(2,4)$ sont dans $F$, mais leur somme $(3,5)$ ne l'est pas.
  • l'image, le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
  • l'intersection de deux sous-espaces vectoriel est un sous-espace vectoriel. En revanche, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est jamais un sous-espace vectoriel, sauf si il y en a un qui contient l'autre.
Somme directe - supplémentaire

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$ l'ensemble $F+G=\{z\in E;\ \exists (x,y)\in F\times G,\ z=x+y\}$. La somme est directe quand tout élément $z$ de $F+G$ se décompose de manière unique en $z=x+y$, où $x$ est dans $F$, $y$ est dans $G$. C'est équivalent à $F\cap G=\{0\}$, et on note la somme directe $F\oplus G$.

Si $F$ est un sev de $E$, on appelle supplémentaire de $F$ tout sous-espace vectoriel $G$ tel que $F\oplus G=E$. Un supplémentaire n'est en général pas unique, et il ne faut surtout pas confondre cette notion avec le complémentaire de $F$ (le complémentaire d'un sous-espace vectoriel n'est jamais un sous-espace vectoriel).

Hyperplan

Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ sera dit maximal si, pour tout autre sous-espace vectoriel $G$, si $F$ est contenu dans $G$, alors ou bien $F=G$, ou bien $G=E$ (autrement dit il n'existe pas de sous-espace vectoriel de $E$ strictement plus gros que $F$, mais strictement plus petit que $E$). Un tel sous-espace vectoriel maximal est appelé hyperplan de l'espace vectoriel $E$.

On peut prouver que si $F$ est un hyperplan de $E$, alors il existe une forme linéaire $u$ sur $E$ telle que $F$ est le noyau de $u$. Réciproquement, le noyau de toute forme linéaire est un hyperplan!