Série formelle

Définition : Une série formelle à une indéterminée (notée $X$) et à coefficients dans un anneau $A$ est une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$. On la note $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n.$$

On définit la somme et le produit de deux séries formelles respectivement par $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n\right)+\left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n X^n\right)=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n) X^n\right)$$ $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n\right)\times \left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n X^n\right)=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} X^n\right).$$ Ces produits imitent bien sûr le résultat obtenu en effectuant le produit de deux polynômes ou de deux séries entières. Muni de ces deux lois, l'ensemble des séries formelles est un anneau noté $A[[X]]$. Pour ce produit, une série formelle $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n$ est inversible si et seulement si $a_0$ est un élément inversible de l'anneau $A$.

Définition : On appelle ordre de la série formelle $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n$ le plus petit entier $n$ pour lequel $a_n$ est non nul.

Notons $o(S)$ l'ordre de la série formelle $S$. On définit alors une distance sur $A[[X]]$ par la formule $$d(S,T)=2^{-o(S-T)}.$$ Si $A$ est intègre, la distance précédente fait de $A[[X]]$ un anneau topologique complet.

Les séries formelles sont souvent utilisées dans des problèmes de combinatoire, où elles remplacent avantageusement les séries entières puisqu'on n'a pas à se préoccuper de leur convergence.