$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Série double

On parle de série double lorsqu'on a une suite de nombres complexes $(u_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb N^2}$ indexée par un couple d'entiers $(n,p)$ et que l'on cherche à donner un sens à $\sum_{n,p=0}^{+\infty}u_{n,p}.$ Cela n'est pas toujours possible, mais on a un résultat positif en cas de convergence absolue :

Théorème : Supposons que, pour tout $n$, le nombre $a_n=\sum_{p=0}^{+\infty}|u_{n,p}|$ existe et supposons que la série de terme général $a_n$ converge. Alors
  • pour tout entier $p$, la série $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n,p}$ converge, on note $b_p$ sa somme.
  • pour tout entier $n$, la série $\sum_{p=0}^{+\infty}u_{n,p}$ converge, on note $c_n$ sa somme.
  • les séries $\sum_{p=0}^{+\infty}b_p$ et $\sum_{n=0}^{+\infty}c_n$ convergent, et on a $$\sum_{p=0}^{+\infty}b_p=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n.$$
Autrement dit, $$\sum_{p=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n,p}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{p=0}^{+\infty} u_{n,p}\right).$$
Recherche alphabétique
Recherche thématique