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Théorème du point fixe de Schauder

Le théorème du point fixe de Schauder est une extension aux espaces vectoriels normés de dimension infinie du théorème du point fixe de Brouwer.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C$ un convexe fermé non vide de $E$, et $T:C\to C$ continue. Si $T(C)$ est relativement compact (i.e. $\overline{T(C)}$ est compact), alors $T$ admet un point fixe.

Une des applications de ce théorème est la démonstration de l'existence de solutions aux équations différentielles du type $y'=f(t,y)$ quand $f$ est simplement supposée continue, le théorème de Cauchy-Arzelà-Peano.

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