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Bibm@th
Résolution théorique des systèmes linéaires
On souhaite déterminer si un système linéaire de n équations à p inconnues admet des solutions :
On note r le rang de la matrice associée au système. C'est encore l'ordre maximum d'un déterminant non nul extrait de A. Quitte à changer l'ordre des équations et des inconnues, on peut supposer que le déterminant non nul est donné par les r premières lignes et les r premières colonnes de la matrice. On note
ce déterminant, appelé déterminant principal du système. Les inconnues x1,...,xr sont dites principales, commes les r premières équations, alors que les autres équations et inconnues sont dites auxiliaires. Les déterminants caractéristiques du système sont alors
où $r<s. Si un seul des déterminants caractéristiques est non nul, le système n'a pas de solutions. Sinon, il y a une solution unique si r=p, ou des solutions paramétrées par p-r variables sinon. On résume cette discussion dans le tableau suivant, ce qui donne le théorème de Rouché-Fontené :
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