Résolution théorique des systèmes linéaires
On souhaite déterminer si un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues admet des solutions :
On note $r$ le rang de la matrice associée au système. C'est encore l'ordre maximum d'un déterminant non nul extrait de $A$. Quitte à changer l'ordre des équations et des inconnues, on peut supposer que le déterminant non nul est donné par les $r$ premières lignes et les $r$ premières colonnes de la matrice. On note
ce déterminant, appelé déterminant principal du système. Les inconnues $x_1,\dots,x_r$ sont dites principales, commes les $r$ premières équations, alors que les autres équations et inconnues sont dites auxiliaires. Les déterminants caractéristiques du système sont alors
où $r<s$. Si un seul des déterminants caractéristiques est non nul, le système n'a pas de solutions. Sinon, il y a une solution unique si $r=p$, ou des solutions paramétrées par $p-r$ variables sinon. On résume cette discussion dans le tableau suivant, ce qui donne le théorème de Rouché-Fontené :
