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Théorème de Riesz-Fischer

On donne le nom de théorème de Riesz-Fischer à l'énoncé suivant :

Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $p\in[1,+\infty]$. Alors l'espace $L^p(\mu)$ est complet. De plus, si $(f_n)$ est une suite de $L^p(\mu)$ convergeant vers $f\in L^p(\mu)$, alors il existe une sous-suite de $(f_n)$ qui converge $\mu$-presque partout vers $f$ sur $X$.
Les énoncés démontrés à l'origine en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer sont en réalité moins général que celui-ci. Fischer a démontré la complétude dans le cas $p=2$ (le cas des espaces de Hilbert), quand Riesz prouvait qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si sa série de Fourier converge dans $L^2$, ce qui redémontre la complétude de ce dernier espace. Ces résultats eurent un fort impact, notamment pour les fondements mathématiques qu'ils posaient à des questions de mécanique quantique.
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