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Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Analyse complexe >

Résidu

Définition : Soit $f$ une fonction holomorphe dans un voisinage de $a\in\mathbb C$, sauf éventuellement en $a$. Pour $r$ assez petit, on note $C_r$ le cercle de centre $a$ et de rayon $r.$ Alors les intégrales $$\frac1{2i\pi}\int_{C_r}f(z)dz$$ sont indépendantes de $r$. La valeur commune de ces intégrales est appelé résidu de $f$ en $a$, et est noté $\textrm{Res}(f,a)$.

On ne calcule pas en général le résidu de $f$ en $a$ par cette formule, mais on démontre que $\textrm{Res}(f,a)$ est aussi le coefficient devant $1/(z-a)$ dans le développement en série de Laurent de $f$ en $a$. Pour calculer pratiquement le résidu de $f$ en $a$, on réalise donc un développement asymptotique en $a$, pour obtenir devant le terme en $1/(z-a)$.

Théorème : Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé $U\subset\mathbb C,$ sauf aux points d'un ensemble $S$ de singularités isolées. Soit $C$ un circuit tracé dans $U,$ et ne rencontrant pas $S.$ Alors $$\frac{1}{2i\pi}\int_C f(z)dz=\sum_{a\in S}\textrm{ind}(C,a)\textrm{Res}(f,a).$$

Le théorème des résidus, qui n'est finalement rien d'autre qu'une version particulièrement flexible de la formule de Cauchy, a de très nombreuses applications : calculs d'intégrales, principe de l'argument, théorème de Rouché, théorème de l'image ouverte, théorème d'inversion locale. L'hypothèse que l'ouvert $U$ est étoilé peut être nettement étendue : on peut supposer que $U$ est simplement connexe.

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