$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Topologie > Vocabulaire général >
Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Exemples de groupes >

Réseau

En topologie
  Soit (X,d) un espace métrique, et strictement positif. On appelle -réseau toute famille (xi), i dans I, de points de X telle que

En théorie des groupes et arithmétique
  Un réseau de Rn est sous-groupe discret de Rn tel que l'espace vectoriel engendré par est Rn tout entier.

  A un réseau , on peut associer :
  • une base, c'est-à-dire une famille (libre) e1,...,en telle que tout x de s'écrive de façon unique
    avec xi dans Z. Une telle base existe toujours.
  • un domaine fondamental associé à une base (e1,...,en). Il s'agit de l'ensemble suivant :
Bien sûr, le domaine fondamental dépend de la base du réseau, mais son volume (au sens de la mesure de Lebesgue) est indépendant de la base choisie. Cela permet de formuler le théorème de Minkowski :

Théorème : Soit un réseau de Rn, V le volume de son domaine fondamental. Toute partie convexe de Rn, mesurable, symétrique par rapport à l'origine, et de mesure strictement plus grande que 2nV contient un élément non-nul de .

  Le théorème de Minkowski est un résultat important d'arithmétique, dans le domaine de la géométrie des nombres.
Consulter aussi...