Etude locale d'une courbe paramétrée
Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^n$ et soit $t_0$ appartenant à $I$. On suppose qu'il existe deux vecteurs $f^{(k)}(t_{0})$ et $f^{(l)}(t_{0})$ qui sont linéairement indépendants. On note alors :
- $p$ est impair et $q$ est pair (typiquement $p=1$ et $q=2$). $M(t_{0})$ est alors un point ordinaire,
et la courbe a l'allure suivante :
- $p$ est impair et $q$ est impair : la courbe traverse sa tangente en $M(t_{0})$ qui est un point d'inflexion.
- $p$ est pair et $q$ est impair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en traversant sa tangente : $M(t_{0})$ est
un point de rebroussement de première espèce.
- $p$ est pair et $q$ est pair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en restant du même côté que sa tangente : $M(t_{0})$ est
un point de rebroussement de seconde espèce.
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