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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Nombres complexes >

Racine n-ième d'un nombre complexe

Racine n-ième
  Si w est un nombre complexe, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe z tel que zn=w.

  • Si w est nul, alors il admet exactement une racine n-ième de l'unité, lui-même.
  • Si w est non-nul, il admet exactement n racines n-ièmes de l'unité distinces. Pour les déterminer, on utiliser l'écriture trigonométrique de w, et on obtient :
Racines n-ièmes de l'unité
  On appelle racine n-ième de l'unité tous les nombres complexes z vérifiant zn=1. Ce sont donc les nombres complexes w0,...,wn-1 s'écrivant :

  L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité possède une structure algébrique particulière. Il s'agit d'un groupe cyclique. Une racine wk est un générateur de ce groupe cyclique si et seulement si k et n sont premiers entre eux. Ces racines sont alors appelées racines n-ièmes primitives de l'unité.
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