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Corps des quaternions

Les nombres complexes sont très utiles en géométrie du plan. Vus comme couple de réels, ils permettent de représenter les points du plan, les opérations sur les nombres complexes (addition, multiplication) représentant les transformations géométriques (translation, rotation, similitude...).

Il semble naturel d'essayer de généraliser cela pour les triplets de réels : mais c'est impossible! On ne peut pas définir une multiplication sur les triplets de nombres réels qui fasse de $\mathbb R^3$ un corps (en particulier, il serait impossible de diviser). Pour pouvoir faire cela, il faut passer à la dimension 4, et définir les quaternions. Un quaternion est un "nombre" $a+ib+cj+dk$ où :

  • $a,b,c$ et $d$ sont des nombres réels.
  • $i$ est le nombre complexe imaginaire pur, $i^2=-1.$
  • $j$ et $k$ sont deux nouveaux nombres, qui vérifient $j^2=k^2=-1,$ $ij=-ji=k,$ $jk=-kj=i,$ $ki=-ik=j.$

La multiplication de deux quaternions est définie par associativité et distributivité à partir des formules précédentes. Ceci munit l'ensemble des quaternions, noté $\mathbb H,$ d'une structure de corps non commutatif (par exemple, $ij=-ji$). Cette absence de commutativité fait que certaines propriétés très bizarres ont lieu. Ainsi, l'équation $x^2+1=0$ admet plus de deux racines dans $\mathbb H$ : $i,-i,j,-j,k,-k$ sont 6 racines, et il en existe en fait une infinité. Le centre du corps des quaternions est réduit à $\mathbb R.$

Le module du quaternion $a+bi+cj+dk$ est définie comme $$\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$$ L'ensemble des quaternions de module 1 est un groupe $G$. Il est en bijection avec l'ensemble des rotations de l'espace d'axe passant par 0. Le produit de deux quaternions correspond alors à la composition des deux rotations sous-jacentes. De plus, $G/\{-1,1\}$ est isomorphe à $SO_3(\mathbb R).$

La $\mathbb R$-algèbre $(\mathbb H, + ,\cdot, \times )$ des quaternions est un $\mathbb C$-espace vectoriel, mais n'est pas une $\mathbb C$-algèbre car la multiplication $\times$ n'est pas $\mathbb C$-bilinéaire : $i\dot(j \times k) \neq j \cdot (i\cdot k).$ Elle est de dimension $4$ en tant que $\mathbb R$-espace vectoriel et de dimension $2$ en tant que $\mathbb C$-espace vectoriel.

Les quaternions ont été inventés par Sir William Rowan Hamilton en 1843. Il raconte lui-même qu'il a eu l'inspiration le 16 octobre 1843 alors qu'il se promenait le long du Royal Canal à Dublin. Tout excité par cette découverte, en traversant le Brougham Bridge, il aurait inscrit sur une des pierres du pont la formule de multiplication $i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$
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