$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@th
Solution d'une équation différentielle
Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R\times \mathbb R^m$ et $f:U\to\mathbb R^m$ une fonction continue.
On considère
l'équation différentielle $y'=f(x,y)$, où $(x,y)\in U$.
- Une solution de l'équation différentielle est la donnée d'un couple $(y,I)$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et
$y$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R^m$ tels que, pour tout $x\in I$, $\big(x,y(x)\big)\in U$ et $y'(x)=f\big(x,y(x)\big)$.
- Si $(y_1,I_1)$ et $(y_2,I_2)$ sont deux solutions de l'équation différentielle, on dit
que $(y_2,I_2)$ est un prolongement de $(y_1,I_1)$ si
- On dit que $(y,I)$ est une solution maximale de l'équation différentielle
si elle n'admet pas de prolongement. Autrement dit, pour toute autre solution $(z,J)$, on a
- Lorsque l'ouvert $U$ est de la forme $J\times V$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$,
on dit que la solution $(y,I)$ est une solution globale lorsque $J=I$ (autrement dit, l'intervalle de définition
de la solution est le plus grand que l'on puisse espérer).
Remarquons qu'une solution globale est toujours maximale, mais qu'une solution maximale peut tout à fait ne pas être globale.
