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Théorème du prolongement d'une dérivée

Théorème de prolongement d'une dérivée : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur $I\backslash \{a\}$. On suppose que $f'$ admet en $a$ une limite $\ell\in\overline{\mathbb R}$. Alors $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$$ En particulier, si $\ell\in\mathbb R$, $f$ est dérivable en $a$ et $f'$ est continue en $a$.

L'hypothèse $f$ continue en $a$ est superflue dans l'énoncé du théorème précédent. Mais la preuve est nécessairement plus difficile, car il faut d'abord prouver que $f$ admet une limite en $a$. Ceci se fait à l'aide d'un argument utilisant les suites de Cauchy.
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