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Produit infini

Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes. On dit que le produit infini des $a_n$ converge si la suite $(P_N)$ définie par $$P_N=\prod_{n=0}^N a_n$$ admet une limite infinie non nulle et on note alors $\prod_{n=0}^{+\infty}a_n$ cette limite.

Un produit infini est donc l'analogue, mais pour le produit au lieu de la somme, d'une série. On peut d'ailleurs ramener l'étude des produits infinis à celle des séries. En effet, si le produit infini converge, alors on démontre que nécessairement la suite $(a_n)$ tend vers $1$. Il existe un rang $j$ tel que, pour $n\geq j$, $|a_n-1|<1$ et on peut définir le logarithme de $a_n$. Pour $N\geq j$, on a alors $$\prod_{n=j}^N a_n=\exp\left(\sum_{n=j}^N \log(a_n)\right).$$ La convergence du produit infini $\prod_{n=0}^{+\infty}a_n$ est donc équivalente à la convergence de la série $\sum_{n=0}^{+\infty}\log(a_n)$.

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