$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

ppcm

ppcm de deux entiers

Si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs non nuls, l'ensemble de leurs multiples communs positifs est une partie de $\mathbb Z$ non vide et minorée par $\max(|a|,|b|).$ Il possède donc un plus petit élément qui est le plus petit multiple commun, ou ppcm de $a$ et $b.$ On le note $\textrm{ppcm}(a,b)$ ou $a\vee b.$ On convient que $\textrm{ppcm}(a,0)=0.$

Le ppcm de $a$ et $b$ est le plus petit des multiples pour l'ordre usuel. C'est aussi le plus petit des multiples pour la divisibilité, comme l'indique la proposition suivante :

Proposition : Soit $a$ et $b$ deux entiers, et $m$ un multiple commun à $a$ et $b$. Alors $\textrm{ppcm}(a,b)$ divise $m.$

On dispose essentiellement de deux algorithmes pour déterminer le ppcm de deux entiers $a$ et $b$ :

  1. la division euclidienne : par cette méthode, on calcule le pgcd de $a$ et $b,$ et on utilise la fait que $ab=\textrm{pgcd}(a,b)×\textrm{ppcm}(a,b).$
  2. la décomposition en facteurs premiers : si $a$ et $b$ s'écrivent $$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\ b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}$$ alors $$\textrm{ppcm}(a,b)=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_r^{\max(\alpha_r,\beta_r)}.$$

On définit de même le ppcm de plus de deux entiers comme le plus petit élément de l'ensemble des multiples communs positifs de ces entiers.

ppcm de deux polynômes

On suppose désormais que $\mathbb K$ est un corps. On peut également définir la notion de ppcm de deux polynômes de $\mathbb K[X].$ Toutefois, on ne dispose plus de la relation d'ordre naturelle qui existe sur les entiers, et l'extension de la notion de ppcm se fait par la relation "être plus petit pour la relation de divisibilité". On a ainsi la proposition et définition suivante :

Proposition et Définition : Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $\mathbb K[X]$. Il existe un unique polynôme $M$ nul ou unitaire tel que, pour tout $R$ de $\mathbb K[X]$, on ait : $$(P|R \textrm{ et } Q|R) \iff M|R.$$ Ce polynôme $M$ est appelé le ppcm de $P$ et $Q.$

Le ppcm de deux polynômes satisfait les mêmes propriétés que le ppcm de deux entiers.

ppcm dans un anneau principal

On peut étendre la définition du ppcm à d'autres anneaux que $\mathbb Z$ et $\mathbb K[X]$ en partant de la remarque suivante. Si $a$ et $b$ sont deux entiers, alors $m=\textrm{ppcm}(a,b)$ est l'unique entier naturel tel que $a\mathbb Z\cap b\mathbb Z=m\mathbb Z.$ De même, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes, alors $M=\textrm{ppcm}(A,B)$ est l'unique polynôme unitaire ou nul tel que $P\mathbb K[X]\cap Q\mathbb K[X]=M\mathbb K[X].$ Ainsi, si $a$ et $b$ sont deux éléments d'un anneau $A,$ il est naturel de définir leur ppcm comme l'élément $m$ tel que $aA\cap bA=mA.$ Cela pose deux problèmes :

  • Il faut être sûr qu'un tel élément $m$ va exister. Pour cela, il suffit de remarquer que $aA\cap bA$ est un idéal de $A.$ Pour être sûr qu'il soit de la forme $mA,$ il suffit que l'anneau soit principal, c'est-à-dire que tous ses idéaux sont engendrés par un seul élément.
  • Il faut garantir l'unicité d'un tel élément. Cela n'est en général pas possible. Par exemple, sur les entiers, $m\mathbb Z=(-m)\mathbb Z.$ Pour les polynômes, si $x$ est un réel non nul, $(xM)\mathbb K[X]=M\mathbb K[X]$. Même pour ces deux exemples, avec la définition précédente, le ppcm n'aurait été défini qu'à un élément inversible près. On a dû en plus choisir une normalisation appropriée.

Si l'on résume ces considérations, on a la proposition suivante :

Proposition et Définition : Soient $A$ un anneau principal, $a$ et $b$ deux éléments de $A$. Aux inversibles près, il existe un unique $m$ de $A$ tel que $aA\cap bA=mA.$ Cet élément $m$ satisfait que, pour tout $c$ de $A,$ on a : $$(a|c\textrm{ et }b|c)\iff m|c.$$ $m$ est appelé ppcm de $a$ et $b.$
ppcm dans un anneau factoriel

Une autre façon d'étendre la définition du ppcm est de partir de la décomposition en facteurs premiers et de définir le ppcm de $a$ et $b$ comme dans l'algorithme de calcul ci-dessus. Ceci n'est possible que dans un anneau où tout élément non nul admet une décomposition unique, aux inversibles près, en produits de facteurs irréductibles (dans un anneau, on emploie plutôt le théorème de facteur irréductible que de facteur premier). De tels anneaux sont appelés anneaux factoriels. On a alors :

Proposition et Définition : Soient $A$ un anneau factoriel, $a$ et $b$ deux éléments de $A.$ Soit $$a=u p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\ b=v p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}$$ leur décomposition respective en produit de facteurs irréductibles ($u$ et $v$ sont des éléments inversibles, les $p_i$ sont des éléments irréductibles). Alors le ppcm de a et b est défini par $$\textrm{ppcm}(a,b)=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_r^{\max(\alpha_r,\beta_r)}.$$ Il est tel que, pour tout $c$ de $A$ on a $$(a|c\textrm{ et }b|c)\iff \textrm{ppcm}(a,b)|c.$$

Bien sûr, un anneau principal est factoriel, et dans ce cas, les deux définitions données pour le pgcd coïncident.

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