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Théorème du portemanteau

Le théorème du portemanteau est un théorème de probabilité qui énonce l'équivalence de divers modes de convergence de variables aléatoires ou de mesures.

Théorème du portemanteau pour les variables aléatoires : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soit $X$ une variable aléatoire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et bornée, $\lim_n \mathbb E(\varphi(X_n))=\mathbb E(\varphi(X))$.
  2. pour toute fonction $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ uniformément continue et bornée, $\lim_n \mathbb E(\varphi(X_n))=\mathbb E(\varphi(X))$.
  3. pour tout fermé $F$ de $E$, $\limsup_n \mathbb P(X_n\in F)\leq \mathbb P(X\in F)$.
  4. pour tout ouvert $O$ de $E$, $\liminf_n \mathbb P(X_n\in O) \geq \mathbb P(X\in O)$.
  5. pour tout borélien $A$ de $E$ tel que $P(X\in\partial A)=0$, $\lim_n P(X_n\in A)=P(X\in A)$.
Si l'une de ces conditions équivalentes est vérifiée, on dit que $(X_n)$ converge en loi vers $X$.
Théorème du portemanteau pour les mesures : Soit $S$ un espace métrique muni de sa tribu borélienne $\Sigma$, soit $(\mu_n)$ une suite de mesures de probabilité sur $(S,\Sigma)$ et soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $(S,\Sigma)$.Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. pour toute fonction continue et bornée $f$, $\int_S fd\mu_n \to \int_S fd\mu$.
  2. pour toute fonction continue et lipschitzienne $f$, $\int_S fd\mu_n \to \int_S fd\mu$.
  3. pour toute fonction semi-continue supérieurement et majorée $f$, $\limsup_n \int_S fd\mu_n \leq \int_S fd\mu$.
  4. pour toute fonction semi-continue inférieurement et minorée $f$, $\liminf_n \int_S fd\mu_n \geq \int_S fd\mu$.
  5. pour toute partie fermée $C$ de $S$, $\limsup_n \mu_n(C)\leq \mu(C)$.
  6. pour toute partie ouverte $U$ de $S$, $\liminf_n \mu_n(U)\geq \mu(U)$.
  7. pour toute partie $A$ de $S$ telle que $\mu(\partial A)=0$, alors $\lim_n \mu_n(A)=\mu(A)$.
Si l'une des conditions équivalentes est vérifiée, on dit que la suite $(\mu_n)$ converge faiblement vers $\mu$.
Ce théorème a été démontré par Alexandrov dans une série d'articles entre 1940 et 1943. Il a été popularisée en France sous le nom de théorème du portemanteau. Dans la littérature anglaise, il semble que la première apparition sous ce nom soit due à Bilingsley en 1968, qui l'a orthographié portmanteau...
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