$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes symétriques

Un peu de théorie...

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Un polynôme en $n$ variables $P$ appartenant à $A[X_1,\dots,X_n]$ est dit symétrique si, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $$P(X_{\sigma(1)},\dots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,\dots,X_n).$$

Exemple :

Dans $\mathbb R[X,Y,Z]$, les polynômes $X+Y+Z$, $XY+YZ+ZT$, $XYZ$ sont des polynômes symétriques.

Les trois polynômes présentés ci-dessus ne sont pas choisis de façon anodine. Tous les polynômes symétriques de $\mathbb R[X,Y,Z]$ peuvent s'écrire comme produits et sommes de ceux-là. Plus généralement, on introduit la définition suivante :

Définition : Les polynômes symétriques élémentaires de $A[X_1,\dots,X_n]$ sont $$\begin{align*} \Sigma_1&=X_1+\cdots+X_n\\ \Sigma_2&=\sum_{1\leq i<j\leq n}X_iX_j\\ \vdots&\quad\vdots\\ \Sigma_p&=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_p\leq n}X_{i_1}\cdots X_{i_p}\\ \vdots&\quad\vdots\\ \Sigma_n&=X_1\cdots X_n. \end{align*}$$

Les polynômes symétriques élémentaires génèrent l'algèbre des polynômes symétriques :

Théorème : Soit $P$ un polynôme symétrique. Alors il existe un unique $g\in A[X_1,\dots,X_n]$ tel que $$P=g(\Sigma_1,\dots,\Sigma_n).$$

Ce théorème est particulièrement intéressant lorsqu'il est mis en parallèle avec les relations coefficients/racines. Rappelons que si $P\in A[X]$ s'écrit $$P(X)=\left\{ \begin{array}{l} a_n X^n+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1 X+a_0\\ a_n(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_n) \end{array}\right.$$ alors \begin{align*} \sigma_p&:=\Sigma_p(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\\ &=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_p\leq n}\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_p}\\ &=(-1)^p\frac{a_{n-p}}{a_p}. \end{align*} En vertu du théorème précédent, on va pouvoir exprimer toute fonction symétrique des racines en fonction des coefficients du polynôme.

En pratique

Si $P$ est un polynôme symétrique en $X_1,\dots,X_n$, il existe des méthodes efficaces pour déterminer le polynôme $g$ tel que $P=g(\Sigma_1,\dots,\Sigma_n)$. D'abord, on décompose $P$ en sommes de polynômes homogènes. On peut donc supposer que $P$ est homogène de degré $p$.

On munit ensuite $\mathbb N$ de l'ordre lexicographique. On écrit $$P=\sum_{\nu\in\mathbb N^n}a_\nu X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}$$ et on considère $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_n)$ le $n$-uplet le plus grand tel que $a_\nu\neq 0$. On a alors $\mu_1\geq\cdots\geq \mu_n$. On pose : $$P_1=P-a_\mu ( \Sigma_1)^{\mu_1-\mu_2}(\Sigma_2)^{\mu_2-\mu_1}\cdots \Sigma_{n-1}^{\mu_{n-1}-\mu_n}\Sigma_n^{\mu_n}.$$ Le polynôme $P_1$ est homogène de degré p. Si $b_\nu$ est le coefficient non-nul de ce polynôme tel que $\nu$ est le plus grand possible dans l'ordre lexicographique, alors $\nu<\mu$. On continue alors avec $P_1$ et, de proche en proche, on détermine $g$, puisqu'à chaque étape on va diminuer strictement l'ordre lexicographique.

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