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Polynôme irréductible

Dans la suite, $\mathbb K$ est un corps, par exemple $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. On dit qu'un polynôme $P$ de $\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est non constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme $\lambda P,$ avec $\lambda\in \mathbb K^*$.

Autrement dit, les polynômes irréductibles jouent le rôle pour l'arithmétique de $\mathbb K[X]$ des entiers premiers pour l'arithmétique de $\mathbb Z$.

Exemples :

  • Les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles.
  • Dans $\mathbb C[X]$, les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1.
  • Dans $\mathbb R[X]$, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.

On peut aussi définir l'irréductibilité pour des polynômes à coefficients dans un anneau intègre : un polynôme est irréductible s'il n'est pas inversible et s'il n'est pas le produit de deux polynômes non inversibles. Cependant, dans ce cadre, la notion de polynôme irréductible est plus délicate. Par exemple, $2X+2$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Z[X]$, car il se factorise en $2(X+1)$, et $2$ n'est pas inversible dans $\mathbb Z$.

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