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Bibm@th

Polynôme caractéristique

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$. On appelle polynôme caractéristique de $A$ le polynôme

$$\chi_A(X)=\det(XI_n -A).$$

De même, si $u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, on appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme caractéristique de toute matrice $A$ représentant $u$ dans une base de $E$.

Le polynôme caractéristique ...caractérise les valeurs propres d'une matrice (ou d'un endomorphisme).

Proposition : Un nombre réel ou complexe $\lambda$ est une valeur propre de $A$ si et seulement si c'est une racine de son polynôme caractéristique.

Ainsi, lorsqu'on cherche à diagonaliser ou trigonaliser une matrice, on commence souvent par calculer son polynôme caractéristique que l'on factorise afin d'obtenir les valeurs propres de la matrice.

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