$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Polynômes orthogonaux

Soit $]a,b[$ un intervalle de $\mathbb R$ et $w$ un poids défini sur $]a,b[$, c'est-à-dire une fonction continue strictement positive définie sur $]a,b[$. On suppose en outre que pour tout entier $n$, l'intégrale converge. On considère $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $]a,b[$ telles que

$E$ est muni du produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx.$$

Le procédé d'orthogonalisation de Schmidt donne l'existence d'une unique suite $(P_n)$ de polynômes unitaires, orthogonaux 2 à 2 pour le produit scalaire de $E$, et tels que $\deg(P_n)=n$ pour tout entier $n$. Ces polynômes sont appelés polynômes orthogonaux pour le poids $w$. Les familles de polynômes orthogonaux les plus importantes (et les plus étudiées) sont les suivantes :

  • , polynômes de Laguerre.
  • , polynômes de Hermite.
  • , polynômes de Legendre.
  • , polynômes de Tchebychev.

Les familles de polynômes orthogonaux vérifient toujours deux propriétés particulièrement intéressantes :

  1. $P_n$ possède $n$ zéros distincts dans $]a,b[$. En particulier, il est scindé à racines simples.
  2. La suite $(P_n)$ vérifie une relation de récurrence d'ordre 2 :
    avec
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